Grenzwert mit komplexer Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Do 16.08.2012 | | Autor: | Duden |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Folge konvergent ist und berechnen Sie den Grenzwert
[mm] c_{n} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{4}\wurzel{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\wurzel{2} i)^{n} [/mm] |
Hallo,
ich verstehe die Lösung hier nicht. Dort wird erst umgeformt und dann steht:
[mm] |c_{n}| [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2} |cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + [mm] sin(\bruch{\pi}{4}) i|))^{n} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2})^n
[/mm]
Jetzt muss [mm] |cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + [mm] sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] i| ja eins sein, wenn ich das richtig sehe, aber wie kommt man darauf? Oder sehe ich es ganz falsch?
Viele Grüße
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Hallo Duden, oder soll ich sagen: Konrad?
> Zeigen Sie, dass die folgende Folge konvergent ist und
> berechnen Sie den Grenzwert
>
> [mm]c_{n}[/mm] = [mm](\bruch{1}{4}\wurzel{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{2} i)^{n}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich verstehe die Lösung hier nicht. Dort wird erst
> umgeformt und dann steht:
>
> [mm]|c_{n}|[/mm] = [mm](\bruch{1}{2} |cos(\bruch{\pi}{4})[/mm] + [mm]sin(\bruch{\pi}{4}) i|))^{n}[/mm] = [mm](\bruch{1}{2})^n[/mm]
Netter Trick. Man muss dazu noch wissen, dass [mm] \cos{\left(\bruch{\pi}{4}\right)}=\sin{\left(\bruch{\pi}{4}\right)}=\bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] ist. Ab da ist es dann ganz einfach.
> Jetzt muss [mm]|cos(\bruch{\pi}{4})[/mm] + [mm]sin(\bruch{\pi}{4})[/mm] i| ja
> eins sein, wenn ich das richtig sehe,
Jawoll. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber wie kommt man
> darauf? Oder sehe ich es ganz falsch?
Na, siehe oben. Und Du siehst es völlig richtig!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Do 16.08.2012 | | Autor: | Duden |
Danke erstmal für die Antwort. Ich weiß es nicht, was es mit Konrad auf sich hat, aber nun gut :-D.
Die Umformung mit cos und sin ist klar, jedoch fehlt mir eben genau der letzte Schritt, dass das, was im Betrag steht, 1 ergibt. Das sehe ich nicht auf Anhieb bzw. gar nicht. Ich könnte das in [mm] e^{\bruch{\pi}{4}i} [/mm] umformen, aber sehe ich auch nicht, dass es 1 ergeben sollte. Ich denke es ist einfach eine Blockade gerade.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich finde die Vorgehensweise mit dem Sinus und Kosinus unnötig. Es war doch
$$ [mm] c_{n} [/mm] $ = $ [mm] (\bruch{1}{4}\wurzel{2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{4}\wurzel{2} i)^{n} [/mm] $$
Auch im komplexen gilt [mm] $|z^n|=|z|^n\,.$ [/mm] Und hier ist [mm] $|c_n|=\sqrt{2*\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2}=\sqrt{4/16}=1/2\,,$ [/mm] also
[mm] $$|c_n|=|(\sqrt{2}/4+i*\sqrt{2}/4)^n|=|(\sqrt{2}/4+i*\sqrt{2}/4)|^n=(1/2)^n \to 0\;\;\;(n \to \infty)\,.$$
[/mm]
Da braucht's keine Tricks, mehr wie obiges Gesetz und [mm] $\sqrt{a^2+b^2}=|a+i*b|\,,$ [/mm] wenn $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] sind, habe ich nicht benutzt. Okay, elementares wie [mm] $a^2+a^2=2a^2$ [/mm] auch noch ^^
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Duden |
Vielen Dank! 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke erstmal für die Antwort. Ich weiß es nicht, was es
> mit Konrad auf sich hat, aber nun gut :-D.
>
> Die Umformung mit cos und sin ist klar, jedoch fehlt mir
> eben genau der letzte Schritt, dass das, was im Betrag
> steht, 1 ergibt.
also das:
> Jetzt muss $ [mm] |cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] $ + $ [mm] sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] $ i| ja eins
> sein,
Das folgt doch direkt aus dem trigonometrischen Pythagoras:
[mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ [/mm] gilt für ALLE $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] insbesondere für [mm] $x=\pi/4\,.$
[/mm]
Und [mm] $|\cos(\pi/4)+i*\sin(\pi/4)|$ [/mm] ist einfach nur der Betrag der komplexen Zahl [mm] $a+i*b\,$ [/mm] mit [mm] $a:=\cos(\pi/4)$ [/mm] und [mm] $b:=\sin(\pi/4)\,,$ [/mm] also
[mm] $$|a+i*b|=\sqrt{a^2+b^2}\,.$$
[/mm]
Daher
[mm] $$|\cos(\pi/4)+i*\sin(\pi/4)|=\sqrt{\cos^2(\pi/4)+\sin^2(\pi/4)}=\sqrt{1}=1\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Duden |
Ja genau DAS habe ich wissen wollen und mir durch deinen vorletzten Post zusammengereimt, bevor der letzte kam, ich bedanke mich für die ausführliche Erklärung! Sehr schön 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja genau DAS habe ich wissen wollen und mir durch deinen
> vorletzten Post zusammengereimt, bevor der letzte kam, ich
> bedanke mich für die ausführliche Erklärung! Sehr schön
>
gerne. Nebenher:
Wenn man weiß oder sich herleiten kann (etwa komplexe Exponentialreihe), dass
[mm] $$\exp(ix)=\cos(x)+i*\sin(x)\;\;(x \in \IR)\,,$$
[/mm]
so folgt [mm] $|e^{ix}|=1$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$). [/mm] Man kann das sogar ohne den trigo. Pyth. nachweisen, indem man [mm] $e^{-ix}=\overline{e^{ix}}$ [/mm] benutzt - es gilt ja auch [mm] $|z|^2=z*\overline{z}\,.$
[/mm]
Damit hätte die Vorgehensweise bei Eurer Aufgabe mehr Sinn gemacht:
[mm] $$c_{n} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{4}\wurzel{2}+\bruch{1}{4}\wurzel{2} i)^{n}=(\frac{1}{2}e^{i*\pi/4})^n$$
[/mm]
hätte
[mm] $$|c_n|=(|1/2|*|e^{i*\pi/4}|)^n=(1/2*1)^n=(1/2)^n$$
[/mm]
geliefert.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Fr 17.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Duden,
inhaltlich ist ja nun alles klar.
> Danke erstmal für die Antwort. Ich weiß es nicht, was es
> mit Konrad auf sich hat, aber nun gut :-D.
Sehr einfach: ![[]](/images/popup.gif) klick!
Grüße
reverend
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