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| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte !
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (e^{3x} [/mm] - [mm] 4)^\bruch{\pi}{4}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] x * ln(1 + [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] |
Hi,
ich würde gerne diese Grenzwerte mit der Taylorreihe oder mit Taylorpolynomen berechnen. Um ehrlich zu sein bin ich mir nicht sicher, ob es notwendig und möglich ist hier mit Taylorreihe/-polynom vorzugehen. Ich habe dies angenommen, da einerseits wir uns mit Taylorreihen/-polynomen momentan in den Vorlesungen beschäftigen und in der Aufgabe davor Grenzwerte mittels l'Hopital zu ermitteln waren. Das war der Grund zur Annahme, diese Aufgaben mit diesem Ansatz zu lösen.
So. Nun steh ich aber auf dem Schlauch. Ich würde versuchen alle Terme mit x umzuschreiben in Taylorreihen, aber da fangen die Probleme schon an. Also da ich ein bisschen dazu recherchiert habe, weiß ich, dass die Taylorreihe für [mm] e^u [/mm] = 1 + u + [mm] \bruch{u^2}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{u^3}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{u^4}{4!} [/mm] + ... sein müsste. Warum nimmt man hier [mm] x_0 [/mm] = 0? Dann habe ich per Wolframalpha mit dem Befehl expansion [mm] x^\bruch{1}{x} [/mm] versucht, die Taylorreihe dafür zu finden. Dies sei 1- [mm] \bruch{log(\bruch{1}{x})}{x} [/mm] + [mm] O((\bruch{1}{x})^2). [/mm] Ich bekomme entweder was anderes raus oder erkenne die Gleichheit nicht.
also sei:
[mm] f(x)=x^\bruch{1}{x}= e^{\bruch{1}{x}*ln(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{\bruch{1}{x}*ln(x)} [/mm] * [mm] \bruch{1-ln(x)}{x^2}
[/mm]
f''(x) wird dann sehr eklig und auch wolframalpha zeigt mir eine sehr eklige Funktion dann an und ich geh einfach davon aus, dass man bei uns dies nicht erwartet abzuleiten. Das sollen nämlich Einführungsaufgaben sein und das Niveau der anderen Aufgaben ist so niedrig, dass ich einfach davon ausgehe, dass der Lehrstuhl sich was anderes dabei gedacht hat als meinen Ansatz.
Also wie ihr sieht, hab ich gerade einen Hirnfehler.
Wie würdet ihr hier vorgehen?
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Mit freundlichen Grüßen
Ulquiorra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Mi 25.05.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bei Aufgabe b) gehe wie folgt vor:
Zuerst mach dir klar, dass
[mm] x\cdot\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)
[/mm]
Des weiteren mach dir mal klar, dass der Grenzwert gegen [mm] \infty [/mm] und der Logarithmus vertauscht werden dürfen.
Also ergibt sich:
[mm] \lim\limits_{x\to\infty}\left(x\cdot\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{x\to\infty}\left(\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)\right)
[/mm]
[mm] =\ln\left(\lim\limits_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)\right)
[/mm]
Den Grenzwert in der Klammer des Logarithmusses solltest du kennen, und damit wird die Aufgabe dann recht schnell lösbar.
Marius
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Das müsste dann 0 sein Dankeschön.
Gruß
Ul
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mi 25.05.2016 | | Autor: | M.Rex |
> Das müsste dann 0 sein Dankeschön.
>
> Gruß
> Ul
Nein.
Der Term innerhalb des Logarithmusses geht gegen e, und nun bleibt die Frage, was der ln(e) ist.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Mi 25.05.2016 | | Autor: | fred97 |
Was Du mit Taylor willst und was Dein Problem ist, ist mir leider nicht klar geworden.
Zu a): [mm] e^{3x} [/mm] strebt gegen [mm] \infty [/mm] für x [mm] \to \infty. [/mm] Dann auch [mm] e^{3x}-4. [/mm] Und der Exponent [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] ändert daran nichts.
Zu b) [mm] x*\ln(1+\bruch{1}{x})=\bruch{\ln(1+\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Jetzt geh ins Hospital.
FRED
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> Was Du mit Taylor willst und was Dein Problem ist, ist mir
> leider nicht klar geworden.
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> Zu a): [mm]e^{3x}[/mm] strebt gegen [mm]\infty[/mm] für x [mm]\to \infty.[/mm] Dann
> auch [mm]e^{3x}-4.[/mm] Und der Exponent [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] ändert
> daran nichts.
>
> Zu b)
> [mm]x*\ln(1+\bruch{1}{x})=\bruch{\ln(1+\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> Jetzt geh ins Hospital.
>
> FRED
Zu b) habe ich es jetzt verstanden, das als Bruch zu schreiben wäre mir nicht in den Sinn gekommen. Dankeschön.
Bei a) habe ich einen Fehler gemacht. Der Exponent wäre nicht [mm] \bruch{\pi}{4}, [/mm] sondern [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] Da bin ich in der Zeile verrückt und habe das falsch abgetippt. Dann würde da ja stehen unendlichste Wurzel aus unendlich. Wie kann man dies dann in einen Bruch schreiben? Dann könnte ich wieder l'Hopital benutzen.
Gruß
Ul
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Mi 25.05.2016 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] f(x):=(e^{3x}-4)^{\bruch{1}{x}}.
[/mm]
Dann ist f(x)>0 für große x ( und nur die interessieren).
Setze g(x):= [mm] \ln(f(x), [/mm] also [mm] g(x)=\bruch{\ln((e^{3x}-4))}{x}
[/mm]
Gehe wieder in die Klinik, um [mm] L:=\limes_{x\rightarrow\infty}g(x) [/mm] zu berechnen.
Der gesuchte Grenzwert ist dann [mm] e^L.
[/mm]
FRED
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