Grenzwert mit Taylor < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:14 Fr 17.01.2014 | | Autor: | orell |
| Aufgabe | Die Lösung zur Grenzwertaufgabe ist:
[mm] \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi \cos (x))}{x \sin(x)} [/mm] = [mm] \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi - \pi \frac{x^{2}}{2} +o(x^{2}) )}{x(x+o(x))} [/mm] = [mm] \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\pi \frac{x^{2}}{2} +o(x^{2})}{x^{2}+o(x^{2})} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] |
Ich habe eine Frage zu der Lösung der obigen Grenzwertaufgabe. Ich habe die Aufgabe mit dem Satz von Hôpital gelöst und bin auch auf das richtige Resultat gekommen.
In der Lösung wird die Taylorreihe verwendet.
Meine Frage bezieht sich auf den Zähler:
[mm] \lim_{x \rightarrow 0} \sin(\pi \cos(x)) [/mm] = [mm] \lim_{x \rightarrow 0} sin(\pi -\underbrace{\frac{\pi x^{2}}{2!}+\frac{\pi x^{4}}{4!} + ...}_{=0}) [/mm] = [mm] \sin(\pi) [/mm] =0
Kann mir bitte jemand sagen, wo ich hier einen (wahrscheinlich fundamentalen) Fehler gemacht habe?
Vielen Dank schon jetzt
Orell
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Fr 17.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Lösung zur Grenzwertaufgabe ist:
> [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi \cos (x))}{x \sin(x)}[/mm]
> = [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi - \pi \frac{x^{2}}{2} +o(x^{2}) )}{x(x+o(x))}[/mm]
> = [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\pi \frac{x^{2}}{2} +o(x^{2})}{x^{2}+o(x^{2})}[/mm]
> = [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]
> Ich habe eine Frage zu der Lösung der obigen
> Grenzwertaufgabe. Ich habe die Aufgabe mit dem Satz von
> Hôpital gelöst und bin auch auf das richtige Resultat
> gekommen.
> In der Lösung wird die Taylorreihe verwendet.
>
> Meine Frage bezieht sich auf den Zähler:
>
> [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \sin(\pi \cos(x))[/mm] = [mm]\lim_{x \rightarrow 0} sin(\pi -\underbrace{\frac{\pi x^{2}}{2!}+\frac{\pi x^{4}}{4!} + ...}_{=0})[/mm]
> = [mm]\sin(\pi)[/mm] =0
>
> Kann mir bitte jemand sagen, wo ich hier einen
> (wahrscheinlich fundamentalen) Fehler gemacht habe?
Ich sehe keinen Fehler. Nur: das was oben über der geschweiften Klammer steht ist nicht =0, sondern geht gegen 0
FRED
>
>
> Vielen Dank schon jetzt
> Orell
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Fr 17.01.2014 | | Autor: | orell |
Hallo Fred,
vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe die Sache nochmals durchgerechnet, und wolframalpha.com gefragt - der Grenzwert muss [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] sein.
Wenn der Grenzwert vom Zähler aber 0 ist, dann erhalte ich ja den Grenzwert:
[mm] \frac{0}{2} [/mm] = 0
Das heisst irgendwo muss ein Fehler stecken, oder ich interpretiere mein eigenes Resultat falsch.
ich wäre für weitere Tipps sehr dankbar.
danke schon jetzt Orell
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Fr 17.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe die Sache nochmals
> durchgerechnet, und wolframalpha.com gefragt - der
> Grenzwert muss [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] sein.
>
> Wenn der Grenzwert vom Zähler aber 0 ist, dann erhalte ich
> ja den Grenzwert:
> [mm]\frac{0}{2}[/mm] = 0
Hä ? Wie das ?
Schauen wir uns an: [mm] \frac{\sin(\pi \cos (x))}{x \sin(x)}.
[/mm]
Der Zähler dieses Quotienten strebt gegen 0 , ebenso der Nenner.
FRED
>
> Das heisst irgendwo muss ein Fehler stecken, oder ich
> interpretiere mein eigenes Resultat falsch.
>
> ich wäre für weitere Tipps sehr dankbar.
>
> danke schon jetzt Orell
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 17.01.2014 | | Autor: | orell |
Hallo Fred,
danke für die schnelle Antwort, jetzt sehe ich den Überlegungsfehler, ich habe die Grenzwerte "hintereinander" gebildet anstatt auf "einmal".
Doch mein ursprüngliches Problem bleibt weiterhin bestehen.
Lösung:
[mm] \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi - \pi \frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}))}{x(x+o(x))}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\pi \frac{x^{2}}{2} +o(x^{2})}{x^{2}+o(x^{2})} [/mm]
Den folgenden Schritt verstehe ich nicht:
[mm] \lim_{x \rightarrow 0}\sin(\pi -\pi\frac{x^{2}}{2} +o(x^{2})) \overbrace{ = }^{?} \lim_{x \rightarrow 0} \pi \frac{x^{2}}{2} +o(x^{2})
[/mm]
Kannst du mir bitte einen weiteren (und hoffentlich letzten) geben, wie man auf die rechte Seite kommt?
Vielen Dank schon jetzt
orell
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Hallo,
> Den folgenden Schritt verstehe ich nicht:
> [mm]\lim_{x \rightarrow 0}\sin(\pi -\pi\frac{x^{2}}{2} +o(x^{2})) \overbrace{ = }^{?} \lim_{x \rightarrow 0} \pi \frac{x^{2}}{2} +o(x^{2})[/mm]
Hier wird benutzt dass [mm] $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$ [/mm] ist.
>
> Kannst du mir bitte einen weiteren (und hoffentlich
> letzten) geben, wie man auf die rechte Seite kommt?
>
> Vielen Dank schon jetzt
> orell
Gruß helicopter
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Hallo,
> Die Lösung zur Grenzwertaufgabe ist:
> [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi \cos (x))}{x \sin(x)}[/mm]
> = [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi - \pi \frac{x^{2}}{2} +o(x^{2}) )}{x(x+o(x))}[/mm]
> = [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\pi \frac{x^{2}}{2} +o(x^{2})}{x^{2}+o(x^{2})}[/mm]
> = [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]
Hmmm ...
> Ich habe eine Frage zu der Lösung der obigen
> Grenzwertaufgabe. Ich habe die Aufgabe mit dem Satz von
> Hôpital gelöst und bin auch auf das richtige Resultat
> gekommen.
Und das wäre? Ich komme nach schneller und oberflächlicher Rechnung durch zweimalige Anwendung von de l'Hôpital auf den GW [mm] $\frac{\red 0}{2}=0$
[/mm]
Ansonsten rechne doch dein Zeug mit l'Hôpital mal hier vor, dann können wir das überprüfen ...
Gruß
schachuzipus
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Jo,
hab einen Fehler gemacht, hatte einmal sin statt cos
[mm] $\pi/2$ [/mm] ist doch richtig ...
Sorry. Ich sollte lieber langsamer rechnen am frühen Morgen ...
Gruß
schachuzipus
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