Grenzwert mit Rekursionsformel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] a_1= [/mm] und für alle n ∈ N
[mm] a_n_+_1=a_n+1-\bruch{a^2_n}{2}
[/mm]
bei dieser Aufgabe soll mit Hilfe der Rekrusionsformel der Grenzwert bestimmt werden.
also mein Versuch für den Anfang
[mm] a_n_+_1=1+1-\bruch{1^2}{2} [/mm] nur damit kann ich nichts anfangen das hilft ja nicht weiter wenn ich das einfach ausrechne oder? |
Hi,
ich hoffe ihr könnt mir helfen bei diser Aufgabe habe ich so gut wie keine Ahnung was ich machen soll. Habe auch noch nie was von der Rekursionformel gehört, ich weiß aber jetzt, dass es eine zurückführung der Folge sein soll. Nur leider kann ich damit nichts anfangen.
Kann ich zuerst die 1 überall da einsetzen wo das [mm] a_n [/mm] steht ? und sie dann als normale Gleichung rechnen?
|
|
| |
|
Hallo wolfmeister,
Du sollst die Rekursionsformel heranziehen, um den Grenzwert zu bestimmen (wenn er denn existiert). Das heißt noch nicht, dass Du jetzt alle möglichen Folgenglieder berechnen musst.
Wenn der Grenzwert existiert, gilt nämlich [mm] \limes_{n\to\infty}a_n=\limes_{n\to\infty}a_{n+1}:=a
[/mm]
und damit wegen des Bildungsgesetzes
> [mm]a_n_+_1=a_n+1-\bruch{a^2_n}{2}[/mm]
[mm] \Rightarrow a=a+1-\bruch{a^2}{2}
[/mm]
Damit ist also entweder [mm] a=\wurzel{2} [/mm] oder [mm] a=-\wurzel{2}.
[/mm]
Du musst jetzt noch herausfinden, welches von beidem stimmt, und das ohne Ausprobieren - gibt es noch andere Begründungen? Tipp: Beschränktheit.
> Kann ich zuerst die 1 überall da einsetzen wo das [mm]a_n[/mm]
> steht ? und sie dann als normale Gleichung rechnen?
Nee, das ist eine Schnapsidee.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
danke erstmal......ich habe jetzt die ganze Zeit versucht die Aufgabe zu lösen und irgendwie werd ich daraus nicht schlau .... wir haben auch ein beispiel gemacht was mich glaub ich noch mehr verwirrt als mir hilft .... Muss ich jetzt was einsetzen oder nich ? bzw... wo muss ich was einsetzen sry aber die aufgabe haut mich um -.-
|
|
|
| |
|
Hallo wolfmeister,
> danke erstmal......ich habe jetzt die ganze Zeit versucht
> die Aufgabe zu lösen und irgendwie werd ich daraus nicht
> schlau .... wir haben auch ein beispiel gemacht was mich
> glaub ich noch mehr verwirrt als mir hilft .... Muss ich
> jetzt was einsetzen oder nich ? bzw... wo muss ich was
> einsetzen sry aber die aufgabe haut mich um -.-
Zunächst fehlt die Angabe von [mm] $a_1$ [/mm] ...
Dann weißt du sicher, dass eine monoton steigende, nach oben beschränkt Folge konvergent ist.
(Oder umgekehrt: mon. fallend und nach unten beschränkt, dann kgt.)
Zeige also:
1) Die Folge ist nach oben beschränkt, zeige dazu [mm] $a_n\le\sqrt{2}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] (Induktion)
2) Die Folge ist monoton wachsend: [mm] $a_{n}\le a_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
(Oder umgekehrt)
Berechne zunächst mal ein paar Folgenglieder, um dir einen Eindruck zu verschaffen, ob die Folge mon. steigend oder fallend ist.
Dann kannst du dich an einen Beweis machen
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
ok danke werd ich mal so versuchen :)
|
|
|
|
