Grenzwert mit L´hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Fr 19.02.2010 | | Autor: | egal |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\0}(1+sin)^{1/x} [/mm] |
Hallo,
nun habe ich hier den Grenzwert zu bestimmen.
Ich gehe hier natürlich mit l´hopital heran.
Ich habs dann so weit abgeleitet, dass ich folgendes raus habe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}e^{\bruch{cos(x)}{1+sin(x)}}
[/mm]
man kann hier ja schon ablesen, dass der Grenzwert e ist.
Meine Frage ist nun, woran erkenne ich, wann ich aufhören soll mit dem ableiten. Ich meine, man kann hier noch weiter ableiten, so dass rauskommt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}e^{\bruch{-sin(x)}{cos(x)}} [/mm] dann wäre der Grenzwert aber 1. Ich bin jetzt total verwirrt mit l´hospital.
Wäre für Hilfe dankbar
Grüße
egal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Fr 19.02.2010 | | Autor: | wilmi |
Hallo,
Du musst l´Hospital immer so lange anwenden bis du eindeutig kürzen kannst bzw. eine eindeutige Lösung hast.
Du musst dir auch klar machen, wann du l´Hospital anwenden darfst!
Hier steht nach Umformung: lim(exp((1/x)*ln(1+sin(x)))
Das heißt im Nenner steht zwar unendlich aber im Zähler doch nicht!
Noch eine Frage: soll der Limes gegen Unendlich gehen oder gegen was?
mfg wilmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Fr 19.02.2010 | | Autor: | egal |
Hi,
vielen Dank für deine Antwort.
Der Limes soll gegen Null gehen, ja, habs vergessen zu verändern.
Das Geheimnis ist also, dass es eine eindeutige Lösung gibt, sobald man kürzen kann, ja?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Fr 19.02.2010 | | Autor: | wilmi |
Ja genau. Der Sinn von l´Hospital liegt darin, dass du nach Anwendung entweder kürzen kannst oder dass die "problematische Stelle" (z.b wenn man durch Null teilen würde) verschwindet. In deinem Beispiel ist die Problematische ^(1/x).
Am besten schreibst du es erstmal um als: e^((1/x)*ln(1+sin(x))
Dann betrachtest du nur den Exponenten gesondert:
ln(1+sin(x))/x da siehst du wenn x gegen Null läuft steht im Zähler ln(1)=0 und im Nenner auch O also insgesamt 0/0, d.h jetzt kommt l´Hospital. Das ergibt dann: cos(x)/(1+sin(x)) . Jetzt schaust du ob im Nenner eine "kritische Stelle ist , d.h hier Nenner =0. Wenn ja dann nochmals l´Hospital. In diesem Fall ist sin(0) + 1 = 1 also alles ok. Cos(0) ist 1. Das ergibt insgesammt 1/1. Jetzt setzt du 1 wieder als exponent ein und erhälst: [mm] e^1 [/mm] = e
Hoffe ich konnte dir helfen!
mfg wilmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Fr 19.02.2010 | | Autor: | egal |
konntest du auf jeden fall, danke sehr
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