Grenzwert mit Exponentialreihe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie mit Hilfe von Satz XY den Grenzwert [mm] $\textstyle\lim_{x\to 0}\frac{2\exp\left(x\right)-2-2x-x^2}{x^3}$. [/mm] |
Hallo mal wieder!
Ich habe folgendes Problem mit der Aufgabe: Ich hab keine Ahnung wie das gehen soll. Das ist jetzt die erste Aufgabe mit Grenzwerten (von Funktionen) an der ich mich versuche, und ich hab keine Ahnung wie ich da dran gehen soll. Ich habe mir zwar die Funktion mal plotten lassen und habe jetzt die Vermutung, der Grenzwert könnte bei [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] liegen, komme aber nicht wirklich darüber hinaus. Ich wäre also für Tipps wie ich das Ganze angehen soll überaus dankbar.
Der genannte Satz XY ist übrigens folgender:
Es gelten folgende Aussagen:
a) [mm] $\exp\left(x\right)>0$ [/mm] für alle [mm] $x\in\mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $\exp\left(-x\right)={\left(\exp\left(x\right)\right)}^{-1}$
[/mm]
b) Es gilt [mm] $\exp\left(x\right)=\lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$
[/mm]
c) Für jedes [mm] $n\in\mathbb{N}_0$ [/mm] gilt: [mm] $\left|\exp\left(x\right)-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\right|\leqslant\frac{2}{{\left(n+1\right)}!}{\left|x\right|}^{n+1}$ [/mm] für [mm] $\left|x\right|\leqslant [/mm] 1$
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 21:15 Sa 26.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie mit Hilfe von Satz XY den Grenzwert
> [mm]\textstyle\lim_{x\to 0}\frac{2\exp\left(x\right)-2-2x-x^2}{x^3}[/mm].
>
> Hallo mal wieder!
> Ich habe folgendes Problem mit der Aufgabe: Ich hab keine
> Ahnung wie das gehen soll. Das ist jetzt die erste Aufgabe
> mit Grenzwerten (von Funktionen) an der ich mich versuche,
> und ich hab keine Ahnung wie ich da dran gehen soll. Ich
> habe mir zwar die Funktion mal plotten lassen und habe
> jetzt die Vermutung, der Grenzwert könnte bei [mm]\frac{1}{3}[/mm]
> liegen, komme aber nicht wirklich darüber hinaus. Ich
> wäre also für Tipps wie ich das Ganze angehen soll
> überaus dankbar.
>
> Der genannte Satz XY ist übrigens folgender:
>
> Es gelten folgende Aussagen:
> a) [mm]\exp\left(x\right)>0[/mm] für alle [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] und
> [mm]\exp\left(-x\right)={\left(\exp\left(x\right)\right)}^{-1}[/mm]
> b) Es gilt
> [mm]\exp\left(x\right)=\lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n[/mm]
> c) Für jedes [mm]n\in\mathbb{N}_0[/mm] gilt:
> [mm]\left|\exp\left(x\right)-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\right|\leqslant\frac{2}{{\left(n+1\right)}!}{\left|x\right|}^{n+1}[/mm]
> für [mm]\left|x\right|\leqslant 1[/mm]
Hallo,
die Taylorreihe für [mm]e^x[/mm] im Entwicklungspunkt x ist
[mm]e^x[/mm]=1+x+[mm]\bruch{x^2}{2!}[/mm]+[mm]\bruch{x^3}{3!}[/mm]+...
Wenn du in deinem Limes im Zähler den Faktor 2 ausklammerst wirst du feststellen, dass du von <span class="math">[mm]e^x[/mm]gerade die ersten drei Summanden wegsubtrahierst. Nun in Zähler und Nenner noch [mm]x^3[/mm] ausklammern und kürzen...
Anmerkung:
Im Teil c) deines gegebenen Satzes wird übrigens mit der Restgliedabschätzung für eine abgebrochene Reihenentwicklung gearbeitet.
Gruß Abakus
</span>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Lustique |
> Hallo,
> die Taylorreihe für [mm]e^x[/mm] im Entwicklungspunkt x ist
> [mm]e^x[/mm]=1+x+[mm]\bruch{x^2}{2!}[/mm]+[mm]\bruch{x^3}{3!}[/mm]+...
> Wenn du in deinem Limes im Zähler den Faktor 2
> ausklammerst wirst du feststellen, dass du von <span
> class="math">[mm]e^x[/mm]gerade die ersten drei Summanden
> wegsubtrahierst. Nun in Zähler und Nenner noch [mm]x^3[/mm]
> ausklammern und kürzen...
> Anmerkung:
> Im Teil c) deines gegebenen Satzes wird übrigens mit der
> Restgliedabschätzung für eine abgebrochene
> Reihenentwicklung gearbeitet.
> Gruß Abakus
> </span>
Danke schon mal für deine Hilfe, aber wir hatten in der Vorlesung leider noch keine Taylor-Polynome, Taylor-Reihen oder Taylor-Entwicklungen. Wir haben gerade erst diese Woche angefangen Funktionen zu behandeln. Gibt es da noch einen "elementareren" Weg?
Das zu Teil c) habe ich mir schon fast gedacht, da ja die andere Definition, die wir für die Exponentialreihe hatten, folgende ist: [mm] $\exp\left(x\right):=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$, [/mm] das hieße ja dann einfach [mm] $\left|\exp\left(x\right)-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\right|=\left|\sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!}\right|\leqslant\frac{2}{{\left(n+1\right)}!}{\left|x\right|}^{n+1}$, [/mm] oder? Aber hilft mir das bei der Aufgabe?
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> Das zu Teil c) habe ich mir schon fast gedacht, da ja die
> andere Definition, die wir für die Exponentialreihe
> hatten, folgende ist: [mm]\exp\left(x\right):=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}[/mm],
Hallo,
wenn Du nun Dein Hirn mal auf "ON" stellst, dann erkennst Du, daß es genau die Reihe ist, über welche abakus redet.
Vielleicht setzt Du jetzt einfach mal um, was er sagt.
Gruß v. Angela
> das hieße ja dann einfach
> [mm]\left|\exp\left(x\right)-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\right|=\left|\sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!}\right|\leqslant\frac{2}{{\left(n+1\right)}!}{\left|x\right|}^{n+1}[/mm],
> oder? Aber hilft mir das bei der Aufgabe?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 27.11.2011 | | Autor: | Lustique |
> Hallo,
>
> wenn Du nun Dein Hirn mal auf "ON" stellst, dann erkennst
> Du, daß es genau die Reihe ist, über welche abakus
> redet.
> Vielleicht setzt Du jetzt einfach mal um, was er sagt.
>
> Gruß v. Angela
1. Tut es mir Leid, dass ich erst jetzt auf deine Antwort eingehe, aber ich konnte mich heute für ein paar Stunden nicht mehr hier einloggen (irgendwas mit Cookies erlauben, obwohl ich die eigentlich immer erlaube und nur regelmäßig lösche, und dann konnte ich nach etwas rumprobieren mit meinen Browsereinstellungen plötzlich gar nicht mehr auf die Seite zugreifen: "Zugriff verwehrt" oder so, nach ein paar Stunden gings dann wieder, obwohl ich im Endeffekt nichts geändert habe)...
2. Es tut mit ebenfalls Leid, dass ich den Ansatz von Abakus nicht weiter verfolgt habe, aber zu dem Zeitpunkt, an dem ich die Antwort geschrieben habe, war ich auch nach mehreren Stunden "an Mathe-Aufgaben scheitern" geistig nicht mehr so ganz auf der Höhe und habe mir auch gedacht, dass ich den Ansatz gar nicht weiter verfolgen muss, weil ich ja nun mal noch keine Taylorreihe in der Vorlesung hatte. (Nach dem Motto: War noch nicht in der Vorlesung dran, darf ich also nicht benutzen und habe ich auch keine Ahnung von, also anderen Ansatz suchen)
3. Wenn ich es so mache, wie Abakus vorgeschlagen hat, dann komme ich doch zu Folgendem (mal in aller Ausführlichkeit):
[mm] $\frac{2\exp\left(x\right)-2-2x-x^2}{x^3}=\frac{2\left(\exp\left(x\right)-1-x-\frac{1}{2}x^2\right)}{x^3}=\frac{2\left(\sum_{k=3}^{\infty}{\frac{x^k}{k!}}+\frac{x^0}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}-1-x-\frac{1}{2}x^2\right)}{x^3}=$
[/mm]
[mm] $\frac{2\left(\sum_{k=3}^{\infty}{\frac{x^k}{k!}}+1-1+x-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{2}\right)}{x^3}=\frac{2\sum_{k=3}^{\infty}{\frac{x^k}{k!}}}{x^3}=2\sum_{k=3}^{\infty}{\frac{x^{k-3}}{k!}}$
[/mm]
Für [mm] $x\to [/mm] 0$ folgt nun:
[mm] $\lim_{x\to 0}2\sum_{k=3}^{\infty}{\frac{x^{k-3}}{k!}}=\lim_{x\to 0}2\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{x^{k}}{\left(k+3\right)!}}=2\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{0^{k}}{\left(k+3\right)!}}=2\left(\frac{1}{3!}+\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{0^{k}}{\left(k+3\right)!}}\right)=2\left(\frac{1}{3!}+0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
[/mm]
Ist das richtig so (und vor allem formal richtig aufgeschrieben)?
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Hallo,
ja, das ist richtig so.
Gruß v. Angela
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