Grenzwert mit Brüchen,Potenzen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Do 02.12.2010 | | Autor: | PaulW89 |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Grenzwert in [mm] \IR\cup\{-\infty,\infty\}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}-6^{n-1}}{4^{n+1}-1^n} [/mm] |
Hallo! Ich hab Probleme beim Lösen dieser Aufgabe.
Hier meine bisherigen Rechenschritte.
Erweitern mit dem Summanden mit der größten Basis (diese Methode haben wir in der Vorlesung gelernt):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}-6^{n-1}}{4^{n+1}-1^n} [/mm] | * [mm] \bruch{1}{6^{n-1}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}*6^{-n+1}-1}{4^{n+1}*6^{-n+1}-\bruch{1}{6^{n-1}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}-1}{4^{n+1}-\bruch{1}{6^{n-1}}}
[/mm]
Dann läuft [mm] 4^{n+1}\to\infty, \bruch{1}{6^{n-1}}\to0 [/mm] und [mm] -1\to-1.
[/mm]
Doch was ist mit [mm] (-4)^{n-3}? [/mm] Das ist doch eine alternierende Folge, hat also keinen Grenzwert. Ist die Aufgabe daher nicht lösbar?
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Hallo Paul,
> Bestimmen sie den Grenzwert in [mm]\IR\cup\{-\infty,\infty\}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}-6^{n-1}}{4^{n+1}-1^n}[/mm]
> Hallo! Ich hab Probleme beim Lösen dieser Aufgabe.
>
> Hier meine bisherigen Rechenschritte.
>
> Erweitern mit dem Summanden mit der größten Basis (diese
> Methode haben wir in der Vorlesung gelernt):
Sprich: Klammere [mm]6^{n-1}[/mm] in Zähler und Nenner aus!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}-6^{n-1}}{4^{n+1}-1^n}[/mm] | * [mm]\bruch{1}{6^{n-1}}[/mm]
Das ist gewagt aufgeschrieben ...
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}*6^{-n+1}-1}{4^{n+1}*6^{-n+1}-\bruch{1}{6^{n-1}}}[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}-1}{4^{n+1}-\bruch{1}{6^{n-1}}}[/mm]
>
> Dann läuft [mm]4^{n+1}\to\infty, \bruch{1}{6^{n-1}}\to0[/mm] und
> [mm]-1\to-1.[/mm]
> Doch was ist mit [mm](-4)^{n-3}?[/mm] Das ist doch eine
> alternierende Folge, hat also keinen Grenzwert. Ist die
> Aufgabe daher nicht lösbar?
Bringe zuerst mal alle Terme auf die Potenz [mm]n-1[/mm]
[mm]\bruch{(-4)^{n-3}-6^{n-1}}{4^{n+1}-1^n}[/mm]
Edit: [mm] $=\bruch{(-4)^{\red{-2}}(-4)^{n-1}-6^{n-1}}{4^{\red{2}}4^{n-1}-1}$ [/mm]
Nun klammere [mm]6^{n-1}[/mm] in Zähler und Nenner aus:
[mm]=\frac{6^{n-1}\cdot{}\left[(-4)^{\red{-2}}\cdot{}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}-1\right]}{6^{n-1}\cdot{}\left[4^{\red{2}}\cdot{}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-\frac{1}{6^{n-1}}\right]}[/mm]
Edit Ende
Nun kürzen und dann [mm]n\to\infty[/mm] laufen lassen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Do 02.12.2010 | | Autor: | PaulW89 |
Danke für deine Antwort! Darauf wäre ich leider nie gekommen..
Außer [mm] 6^{n-1} [/mm] kann ich in dem letzten von dir notierten Bruch doch garnichts kürzen, oder?
Weiß dann leider immer noch nicht, wie es da weitergeht. :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Do 02.12.2010 | | Autor: | PaulW89 |
schachuzipus hat wohl einen Fehler gemacht, im Nenner muss es [mm] 4^2 [/mm] heißen statt [mm] 4^{-2}.
[/mm]
Jetzt komme ich auf den Grenzwert [mm] -\infty, [/mm] das sagt mir auch Wolfram|Alpha. Dankeschön! 
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Hallo,
> schachuzipus hat wohl einen Fehler gemacht, im Nenner muss
> es [mm]4^2[/mm] heißen statt [mm]4^{-2}.[/mm]
Ja, ich habe beide Potenzen verdreht, sowohl im Zähler als auch im Nenner.
Ich editiere das schnell ...
>
> Jetzt komme ich auf den Grenzwert [mm]-\infty,[/mm] das sagt mir
> auch Wolfram|Alpha. Dankeschön!
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Do 02.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
> Außer [mm]6^{n-1}[/mm] kann ich in dem letzten von dir notierten
> Bruch doch garnichts kürzen, oder?
Richtig.
> Weiß dann leider immer noch nicht, wie es da weitergeht.
Führe nun die Grenzwertbetrachtung durch. Und bedenke, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow}q^n [/mm] \ = \ 0$ für $|q| \ < \ 1$ .
Gruß
Loddar
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Hallo PaulW,
ich verfolge mal Deinen ersten Weg weiter:
> Bestimmen sie den Grenzwert in [mm]\IR\cup\{-\infty,\infty\}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}-6^{n-1}}{4^{n+1}-1^n}[/mm]
> Hallo! Ich hab Probleme beim Lösen dieser Aufgabe.
>
> Hier meine bisherigen Rechenschritte.
>
> Erweitern mit dem Summanden mit der größten Basis (diese
> Methode haben wir in der Vorlesung gelernt):
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}-6^{n-1}}{4^{n+1}-1^n}[/mm]
> | * [mm]\bruch{1}{6^{n-1}}[/mm]
Die Schreibweise hatte schachuzipus ja auch schon kritisiert. Eigentlich müsste als Erläuterung des Rechenschrittes da doch stehen:
$ [mm] \big|\ *\bruch{6^{1-n}}{6^{1-n}} [/mm] $
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}*6^{-n+1}-1}{4^{n+1}*6^{-n+1}-\bruch{1}{6^{n-1}}}[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-4)^{n-3}-1}{4^{n+1}-\bruch{1}{6^{n-1}}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wieso das? Die frisch hineinmultiplizierten Faktoren kannst Du doch jetzt nicht einfach so wieder weglassen. Erstaunlicherweise stimmt die Gleichung zwar trotzdem, aber das ist keine gültige Äquivalenzumformung, und als Grenzwertumformung wäre erst noch zu zeigen, dass Du hier so vorgehen darfst.
> Dann läuft [mm]4^{n+1}\to\infty, \bruch{1}{6^{n-1}}\to0[/mm] und
> [mm]-1\to-1.[/mm]
> Doch was ist mit [mm](-4)^{n-3}?[/mm] Das ist doch eine
> alternierende Folge, hat also keinen Grenzwert. Ist die
> Aufgabe daher nicht lösbar?
Doch, trotz des alternierenden Glieds.
Ich würde ähnlich umformen wie Du (jedenfalls im Prinzip...):
[mm] \bruch{(-4)^{n-3}-6^{n-1}}{4^{n+1}-1^n}=\bruch{(-1)^{n-3}*4^{n-1}*\bruch{1}{4^2}-6^{n-1}}{4^2*4^{n-1}-1}=\bruch{(-1)^{n-1}*\bruch{1}{4^2}-\bruch{6^{n-1}}{4^{n-1}}}{4^2-\bruch{1}{4^{n-1}}}=\bruch{(-1)^{n-1}}{4^4-\bruch{1}{4^{n-3}}}-\left(\bruch{3}{2}\right)^{n-1}*\bruch{1}{4^2-\bruch{1}{4^{n-1}}}
[/mm]
Jetzt kann man doch eigentlich ganz schön ablesen. Der erste Bruch läuft gegen [mm] \tfrac{1}{256}, [/mm] aber leider alternierend. Das macht der Teil nach dem Minuszeichen doch aber locker wieder wett.  Der läuft nämlich gegen Unendlich, weil die Potenz von [mm] \tfrac{3}{2} [/mm] alles bestimmt. Der andere Bruch geht ja gegen [mm] \tfrac{1}{16}.
[/mm]
Alles in allem läuft Deine Folge also gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Ich finde es so klarer zu sehen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Do 02.12.2010 | | Autor: | PaulW89 |
Vielen Dank an die beiden letzten Schreiber, für die nachträgliche Klarifizierung.
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