Grenzwert mit 6.wurzel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Di 11.07.2006 | | Autor: | Ronin |
| Aufgabe | | [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} \left( \ \wurzel[6]{x^6 + x^5} - \wurzel[6]{x^6 - x^5} \ \right)$ [/mm] |
Hallo
ich hoff jemand kann mir weiterhelfen
hat mir jemand nen tipp ich tappe föllig im dunkeln hab schon etliches probiert... (ich will keinen lösungsweg nur nen denkanstoss  )
vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
Also ich bin mir nciht ganz sicher, aber ich denke du musst das ganze einfach mit
[mm] \bruch{1}{ \wurzel[6]{x^6 + x^5} \* \wurzel[6]{x^6 - x^5}} [/mm]
erweitern.
Das ganze ding rennt sowieso gegen unendlich da macht die Wurzel 6 eigentlich nicht viel aus.
Das ganze müsste dann gegen 0 gehen.
Aber ohne Gewähr!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 11.07.2006 | | Autor: | Ronin |
hi
das stimmt so nicht wirklich
also der grenzwert ist 1/3, sagt jedenfalls mein Taschenrechner und der irrt selten...
und wenn ich mit besagtem term erweitere kommt was raus was überhaupt nicht besser aussieht.....
aber trotzdem danke für die schnelle antwort
Hast du oder jemand anders noch nen anderen tipp????
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Hallo Ronin,
> [mm]\lim_{x\rightarrow\infty}{\left(\sqrt[6]{x^6 + x^5} -
\sqrt[6]{x^6 - x^5}\right)}[/mm]
Klammern wir mal zunächst [mm]x^6[/mm] aus und formen dann ein wenig um:
[mm]\lim_{x\rightarrow\infty}{\left(x\sqrt[6]{x + \frac{1}{x}} -
x\sqrt[6]{1 - \frac{1}{x}}\right)} = \lim_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{\frac{1}{x}}\sqrt[6]{x + \frac{1}{x}} -
\frac{1}{\frac{1}{x}}\sqrt[6]{1 - \frac{1}{x}}\right)} = \lim_{x\to\infty}{\frac{\sqrt[6]{1+\frac{1}{x}}-\sqrt[6]{1-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}}[/mm]
Nun sieht man, daß der Zähler-Term ebenso wie der Nenner-Term für [mm]x\to\infty[/mm] gegen 0 geht. Das ist sehr praktisch, denn jetzt kann man l'Hospital anwenden:
[mm]\lim_{x\to\infty}{\frac{\sqrt[6]{1+\frac{1}{x}}-\sqrt[6]{1-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}} = \lim_{x\to\infty}{\frac{-\frac{1}{x^2}\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-\frac{5}{6}}-\frac{1}{x^2}\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-\frac{5}{6}}}{-\frac{1}{x^2}}}[/mm]
[mm]=\frac{1}{6}\lim_{x\to\infty}{\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-\frac{5}{6}}+\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-\frac{5}{6}}\right)}=\dotsb[/mm]
Wenn du das weiter umformst, kommst du irgendwann zu Ausdrücken, wo du die Grenzwerte von
[mm]\frac{x}{x\pm1}[/mm] für [mm]x\to\infty[/mm]
ermitteln mußt. Danach bist du fertig.
Viele Grüße
Karl
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