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| Aufgabe | Berechnen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm] \lim\limits_{y \rightarrow 0}{y^{-1}log(1+y)}
[/mm]
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Nun wurde uns hierzu in der Übung der Tip gegeben, y zu substituieren. Aber ich habe leider keine Ahnung durch was....Ich bin für jeden Denkanstoß dankbar :)
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Hallo!
> Berechnen Sie den folgenden Grenzwert:
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> [mm]\lim\limits_{y \rightarrow 0}{y^{-1}log(1+y)}[/mm]
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> Nun wurde uns hierzu in der Übung der Tip gegeben, y zu
> substituieren. Aber ich habe leider keine Ahnung durch
> was....Ich bin für jeden Denkanstoß dankbar :)
- Wenn ihr bereits L'Hospital anwenden dürft, dann wäre jetzt der richtige Zeitpunkt dafür 
- Wenn nicht: Substituiere $y = [mm] \frac{1}{x}$. [/mm] Dann ist
[mm] $\lim_{y \rightarrow 0+}y^{-1}*\log(1+y) [/mm] = [mm] \lim_{x \rightarrow \infty}x*\log\left(1+\frac{1}{x}\right)$
[/mm]
Jetzt:
- 1x Logarithmusgesetz anwenden und x in den Logarithmus befördern.
- 1x Stetigkeit des Logarithmus benutzen, um Limes mit log(...) vertauschen zu dürfen
- 1x Bekannten Grenzwert einsetzen (hat was mit "e" zu tun...)
Grüße,
Stefan
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Also ich habe substiuiert und x reingezogen. Dann habe ich ja:
[mm] \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{log(1+x^{-1})^x}.
[/mm]
Und wir hatten in der Übung, dass das gleich e ist...aber dann kann ich ja gar nicht resubstituieren. (und lim und log habe ich auch nicht vertauscht...)
Ist das so trotzdem richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 So 24.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo congo.hoango!
Warum willst Du resubstituieren? Das ist hier nicht notwendig, da auch der Grenzwert verändert wurde.
Zum Vertauschen:
[mm] $$\limes_{y\rightarrow 0+}\left[y^{-1}*\log(1+y)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left[x*\log\left(1+\bruch{1}{x}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\log\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x [/mm] \ = \ [mm] \log\left[\limes_{x\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x\right] [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Ok, also ist mein Ergebnis richtig? Weil mein Grafikprogramm zeigt die Funktion irgendwie nicht so an, als würde sie bei 0 gegen e streben...komisch.
Und das mit dem Vertauschen brauche ich ja dann gar nicht, wenn ich den genannten Grenzwert als bekannt voraussetzen darf.
Danke nochmal für die Antworten!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 So 24.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok, also ist mein Ergebnis richtig?
Verrätst du es uns auch?  Dann könnte man dazu besser Stellung nehmen.
> Weil mein Grafikprogramm zeigt die Funktion irgendwie nicht so an,
> als würde sie bei 0 gegen e streben...komisch.
Der Grenzwert ist ja auch nicht e
>
> Und das mit dem Vertauschen brauche ich ja dann gar nicht,
> wenn ich den genannten Grenzwert als bekannt voraussetzen
> darf.
Oh doch, ohne das Vertauschen darfst du nicht auf e schliessen, denn es gilt:
[mm] e=\limes_{x\to\infty}\left(1+\bruch{1}{x}\right)^{x}
[/mm]
>
> Danke nochmal für die Antworten!
Marius
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Habe ich zwar schon in der Frage vorher geschrieben, aber hier nochmal:
Also ich substituiere [mm] y:=x^{-1} [/mm] und ziehe dann das x vor dem log rein und erhalte:
[mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{log(1+x^{-1})^x}
[/mm]
Bis hierhin richtig?
Weil daraus habe ich dann auf den Grenzwert e geschlossen...ich sehe den Fehler nicht, sorry :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 So 24.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo congo!
Der Grenzwert $e_$ gilt für [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x$ [/mm] .
Vergiss aber nicht, dass Du noch den [mm] $\log$ [/mm] nehmen musst.
Gruß
Loddar
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Achsooo, dann habe ich das falsch mitgeschrieben. Vielen Dank :) Dann probier ich das mal so.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 24.01.2010 | | Autor: | Harris |
Ich weiß nicht, ob ihr die Reihe des Logarithmus verwenden dürft...
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{x^k}{k} [/mm] = log(1+x)
Wenn ja, einfach x ausklammern und gut is ;)
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Nee, hatten wir leider noch nicht, aber trotzdem danke!
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