Grenzwert komplexer Zahlen. < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Sa 12.11.2011 | | Autor: | piet86 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} e^{i\bruch{\pi}{8}n }, [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Untersuche die Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} *(\limes_{n\rightarrow\infty} cos(i\bruch{\pi}{8}n)+i sin(i\bruch{\pi}{8}n)) [/mm] = 0
da [mm] cos(i\bruch{\pi}{8}n) \not= \infty [/mm] , denn [mm] -1\le cos(\alpha) \le [/mm] 1
[mm] sin(i\bruch{\pi}{8}n) \not= \infty [/mm] , denn [mm] -1\le sin(\alpha) \le [/mm] 1
Ist das formal Korrekt? Ich habe gehört, dass man die Grenzwerte von komplexen Zahlen formal anders schreibt als bei den reelen Zahlen.
Gruß Piet
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Hallo piet86, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Folge [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} e^{i\bruch{\pi}{8}n },[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Untersuche die Folge auf Konvergenz und bestimme
> gegebenfalls den Grenzwert.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} *(\limes_{n\rightarrow\infty} cos(i\bruch{\pi}{8}n)+i sin(i\bruch{\pi}{8}n))[/mm]
> = 0
Die Argumente von Cosinus und Sinus enthalten kein i mehr!
[mm] e^{i\phi}=\cos{(\phi)}+i\sin{(\phi)}
[/mm]
> da [mm]cos(i\bruch{\pi}{8}n) \not= \infty[/mm] , denn [mm]-1\le cos(\alpha) \le[/mm]
> 1
> [mm]sin(i\bruch{\pi}{8}n) \not= \infty[/mm] , denn [mm]-1\le sin(\alpha) \le[/mm]
> 1
>
> Ist das formal Korrekt? Ich habe gehört, dass man die
> Grenzwerte von komplexen Zahlen formal anders schreibt als
> bei den reelen Zahlen.
So ist es ok.
Normalerweise betrachtet man entweder Real- und Imaginärteil getrennt, oder - was sich in dieser Aufgabe auch anbietet - nimmt die Polarform. Wenn dann [mm] |r|\to{0} [/mm] geht, dann ist die Folge offenbar eine Nullfolge.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Sa 12.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] |e^{it}|=1 [/mm] für t [mm] \in \IR.
[/mm]
Wie fällt dann [mm] |a_n| [/mm] aus ?
FRED
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