Grenzwert ins Integral ziehen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei r>0, [mm] a:\mathbb{R}\to\mathbb{R} [/mm] eine stetig differenzierbare Funktion mit a(x)=1, falls [mm] |x|\leq r,\, [/mm] a(x)=0, falls [mm] |x|\geq [/mm] r+1 und [mm] |a'(x)|\leq2. [/mm] Weiterhin sei [mm] b:\mathbb{R}\to\mathbb{R} [/mm] eine beliebige nicht von r abhängige Funktion.
Dann gilt für 0<s<t: [mm] \int_{s}^{t}\int_{\{r\leq|x|\leq r+1\}}a'(x)b(\tau)dxd\tau\to0 [/mm] für [mm] r\to\infty. [/mm] Warum? |
Hallo,
also es ist ja nach Definition klar, dass [mm] a'(x)\to0 [/mm] für [mm] r\to\infty [/mm] geht. Aber wieso kann ich den Grenzwert quasi in die Integrale hereinziehen? In dem inneren Integral hängt der Integrationsbereich ja auch von r ab. Mir fällt dazu wirklich keine passende Begründung ein.
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> Sei r>0, [mm]a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine stetig
> differenzierbare Funktion mit a(x)=1, falls [mm]|x|\leq r,\,[/mm]
> a(x)=0, falls [mm]|x|\geq[/mm] r+1 und [mm]|a'(x)|\leq2.[/mm] Weiterhin sei
> [mm]b:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine beliebige nicht von r
> abhängige Funktion.
>
> Dann gilt für 0<s<t: [mm]\int_{s}^{t}\int_{\{r\leq|x|\leq r+1\}}a'(x)b(\tau)dxd\tau\to0[/mm]
> für [mm]r\to\infty.[/mm] Warum?
> Hallo,
>
> also es ist ja nach Definition klar, dass [mm]a'(x)\to0[/mm] für
> [mm]r\to\infty[/mm] geht. Aber wieso kann ich den Grenzwert quasi in
> die Integrale hereinziehen? In dem inneren Integral hängt
> der Integrationsbereich ja auch von r ab. Mir fällt dazu
> wirklich keine passende Begründung ein.
Hallo T_sleeper,
es geht gar nicht darum, einen "Grenzwert in die Integrale
hineinzuziehen". Es geht aber um die Gestalt der Funktion a.
diese ist zuerst konstant gleich 0, steigt dann im Intervall
$\ [-r-1\ [mm] ...\,-r]$ [/mm] von 0 auf 1 an, bleibt dann von -r bis +r auf dem
Plateau der Höhe 1, sinkt über $\ [mm] [r\,...\,r+1]$ [/mm] wieder auf 0 ab und
bleibt dort. Deshalb ist zum Beispiel
[mm] $\integral_{-r-1}^{-r}a'(x)\,dx\ [/mm] =\ a(-r)-a(-r-1)\ =\ 1-0\ =\ 1$
Mit umgekehrten Vorzeichen läuft das Ganze am rechten
Abhang des Plateaus ab. Der Faktor [mm] b(\tau) [/mm] ist, was die Inte-
gration über x betrifft, ein konstanter Faktor.
Die beiden "Abhangsintegrale" heben sich gegenseitig auf.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 04:40 So 28.08.2011 | | Autor: | T_sleeper |
> > Sei r>0, [mm]a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine stetig
> > differenzierbare Funktion mit a(x)=1, falls [mm]|x|\leq r,\,[/mm]
> > a(x)=0, falls [mm]|x|\geq[/mm] r+1 und [mm]|a'(x)|\leq2.[/mm] Weiterhin sei
> > [mm]b:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine beliebige nicht von r
> > abhängige Funktion.
> >
> > Dann gilt für 0<s<t: [mm]\int_{s}^{t}\int_{\{r\leq|x|\leq r+1\}}a'(x)b(\tau)dxd\tau\to0[/mm]
> > für [mm]r\to\infty.[/mm] Warum?
> > Hallo,
> >
> > also es ist ja nach Definition klar, dass [mm]a'(x)\to0[/mm] für
> > [mm]r\to\infty[/mm] geht. Aber wieso kann ich den Grenzwert quasi in
> > die Integrale hereinziehen? In dem inneren Integral hängt
> > der Integrationsbereich ja auch von r ab. Mir fällt dazu
> > wirklich keine passende Begründung ein.
>
>
> Hallo T_sleeper,
>
> es geht gar nicht darum, einen "Grenzwert in die Integrale
> hineinzuziehen". Es geht aber um die Gestalt der Funktion
> a.
> diese ist zuerst konstant gleich 0, steigt dann im
> Intervall
> [mm]\ [-r-1\ ...\,-r][/mm] von 0 auf 1 an, bleibt dann von -r bis
> +r auf dem
> Plateau der Höhe 1, sinkt über [mm]\ [r\,...\,r+1][/mm] wieder
> auf 0 ab und
> bleibt dort. Deshalb ist zum Beispiel
>
> [mm]\integral_{-r-1}^{-r}a'(x)\,dx\ =\ a(-r)-a(-r-1)\ =\ 1-0\ =\ 1[/mm]
>
> Mit umgekehrten Vorzeichen läuft das Ganze am rechten
> Abhang des Plateaus ab. Der Faktor [mm]b(\tau)[/mm] ist, was die
> Inte-
> gration über x betrifft, ein konstanter Faktor.
> Die beiden "Abhangsintegrale" heben sich gegenseitig auf.
>
> LG Al-Chw.
>
>
Ok, da hast du recht, ich habe die Frage aber auch blöd formuliert. In der Realität steht bei mir nämlich noch eine integrierbare, beschränkte Funktion c(x,t) vor dem a'(x), d.h. [mm] \int_{s}^{t}\int_{\{r\leq|x|\leq r+1\}}c(x,\tau)a'(x)b(\tau)dxd\tau. [/mm] Ich denke, dann geht das leider nicht mehr so einfach oder?
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> > > Sei r>0, [mm]a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine stetig
> > > differenzierbare Funktion mit a(x)=1, falls [mm]|x|\leq r,\,[/mm]
> > > a(x)=0, falls [mm]|x|\geq[/mm] r+1 und [mm]|a'(x)|\leq2.[/mm] Weiterhin sei
> > > [mm]b:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine beliebige nicht von r
> > > abhängige Funktion.
> > >
> > > Dann gilt für 0<s<t: [mm]\int_{s}^{t}\int_{\{r\leq|x|\leq r+1\}}a'(x)b(\tau)dxd\tau\to0[/mm]
> > > für [mm]r\to\infty.[/mm] Warum?
> > > Hallo,
> > >
> > > also es ist ja nach Definition klar, dass [mm]a'(x)\to0[/mm] für
> > > [mm]r\to\infty[/mm] geht. Aber wieso kann ich den Grenzwert quasi in
> > > die Integrale hereinziehen? In dem inneren Integral hängt
> > > der Integrationsbereich ja auch von r ab. Mir fällt dazu
> > > wirklich keine passende Begründung ein.
> >
> >
> > Hallo T_sleeper,
> >
> > es geht gar nicht darum, einen "Grenzwert in die Integrale
> > hineinzuziehen". Es geht aber um die Gestalt der Funktion a.
> > diese ist zuerst konstant gleich 0, steigt dann im Intervall
> > [mm]\ [-r-1\ ...\,-r][/mm] von 0 auf 1 an, bleibt dann von -r
> >bis +r auf dem
> > Plateau der Höhe 1, sinkt über [mm]\ [r\,...\,r+1][/mm] wieder
> > auf 0 ab und bleibt dort. Deshalb ist zum Beispiel
> >
> > [mm]\integral_{-r-1}^{-r}a'(x)\,dx\ =\ a(-r)-a(-r-1)\ =\ 1-0\ =\ 1[/mm]
> >
> > Mit umgekehrten Vorzeichen läuft das Ganze am rechten
> > Abhang des Plateaus ab. Der Faktor [mm]b(\tau)[/mm] ist, was die
> > Integration über x betrifft, ein konstanter Faktor.
> > Die beiden "Abhangsintegrale" heben sich gegenseitig auf.
> >
> > LG Al-Chw.
> >
> >
> Ok, da hast du recht, ich habe die Frage aber auch blöd
> formuliert. In der Realität steht bei mir nämlich noch
> eine integrierbare, beschränkte Funktion c(x,t) vor dem
> a'(x), d.h. [mm]\int_{s}^{t}\int_{\{r\leq|x|\leq r+1\}}c(x,\tau)a'(x)b(\tau)dxd\tau.[/mm]
> Ich denke, dann geht das leider nicht mehr so einfach oder?
Ja, das ändert natürlich die Situation. Ich dachte schon
vorher, dass die Lösung fast etwas zu einfach aussah,
weil der Limes für r gegen [mm] \infty [/mm] überhaupt nicht gebraucht
wurde.
Noch eine Frage zur Vergewisserung: welche Eigenschaften
soll die Funktion c genau haben ? Genügt es, dass c integrierbar
und beschränkt ist, oder soll z.B. auch noch das Integral von c
beschränkt sein ?
LG Al-Chw.
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Hallo nochmal,
c sieht folgendermaßen aus [mm] c(x,\tau)=f(u(x,\tau))-f(v(x,\tau)), [/mm] hierbei ist [mm] f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} [/mm] eine stetig differenzierbare Funktion und [mm] u,v\in C([0,\infty),L^{1}(\mathbb{R}))\cap L^{\infty}(\mathbb{R}\times(0,\infty)).
[/mm]
Vielleicht kann man damit etwas mehr über den Grenzwert für [mm] r\to\infty [/mm] aussagen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 30.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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