Grenzwert für x gegen x0 < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mi 18.12.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Berechen Sie jeweils den Grenzwert, falls er existiert.
f) [mm] \limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{1}{2-x}-\bruch{11}{8-x^3})
[/mm]
g) [mm] \limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{x^2-5x+6}{x^2-7x+10}) [/mm] |
Nabend,
habe mich mal an die Grenzwert Aufgaben [mm] x\to x_0 [/mm] heran getraut. Leider komme ich bei f) nicht weiter. Ehrlich gesagt, hatten wir das noch nicht in der Vorlesung, aber vielleicht könnt ihr mir ein Tipp geben, wie man die Aufgabe löst. Ein Binom sehe ich da leider nicht, kann den Term auch nicht geschickt umformen. Hab mal beide auf den selben Nenner gebracht.
[mm] \limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{1}{2-x}-\bruch{11}{8-x^3}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{8-x^3-22+11x)}{(2-x)(8-x^3)}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{-x^3+11x-14)}{(2-x)(8-x^3)}) [/mm] , ab hier komme ich nicht weiter. Als Lösung sollen da die uneigentlichen Grenzwerte + & - unendlich rauskommen, sehe es aber nicht. Sollte man sich hier vielleicht eine Umgebung [mm] \varepsilon [/mm] von [mm] x_0 [/mm] betrachten, also [mm] (x_0 \pm \varepsilon), [/mm] je nachdem, von welcher Seite man auf [mm] x_0 [/mm] kommt und [mm] \varepsilon [/mm] gegen Null laufen lassen? In der Schule gabs mal sowas, kann mich aber nicht mehr erinnern.
Gruß
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Hallo DragoNru,
> Berechen Sie jeweils den Grenzwert, falls er existiert.
> f) [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{1}{2-x}-\bruch{11}{8-x^3})[/mm]
>
> g) [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{x^2-5x+6}{x^2-7x+10})[/mm]
>
> Nabend,
>
> habe mich mal an die Grenzwert Aufgaben [mm]x\to x_0[/mm] heran
> getraut. Leider komme ich bei f) nicht weiter. Ehrlich
> gesagt, hatten wir das noch nicht in der Vorlesung, aber
> vielleicht könnt ihr mir ein Tipp geben, wie man die
> Aufgabe löst. Ein Binom sehe ich da leider nicht, kann den
> Term auch nicht geschickt umformen. Hab mal beide auf den
> selben Nenner gebracht.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{1}{2-x}-\bruch{11}{8-x^3})[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{8-x^3-22+11x)}{(2-x)(8-x^3)})[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{-x^3+11x-14)}{(2-x)(8-x^3)})[/mm]
> , ab hier komme ich nicht weiter. Als Lösung sollen da die
> uneigentlichen Grenzwerte + & - unendlich rauskommen, sehe
> es aber nicht. Sollte man sich hier vielleicht eine
> Umgebung [mm]\varepsilon[/mm] von [mm]x_0[/mm] betrachten, also [mm](x_0 \pm \varepsilon),[/mm]
> je nachdem, von welcher Seite man auf [mm]x_0[/mm] kommt und
> [mm]\varepsilon[/mm] gegen Null laufen lassen? In der Schule gabs
> mal sowas, kann mich aber nicht mehr erinnern.
>
Es sind die Grenzwerte
[mm]\limes_{x\rightarrow 2, \ x < 2} \bruch{-x^3+11x-14}{(2-x)(8-x^3)}[/mm]
und
[mm]\limes_{x\rightarrow 2, \ x > 2} \bruch{-x^3+11x-14}{(2-x)(8-x^3)}[/mm]
zu betrachten.
Der genannte Ausdruck läßt sich noch vereinfachen.
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mi 18.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Berechen Sie jeweils den Grenzwert, falls er existiert.
> f) [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{1}{2-x}-\bruch{11}{8-x^3})[/mm]
>
> g) [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{x^2-5x+6}{x^2-7x+10})[/mm]
>
> Nabend,
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> habe mich mal an die Grenzwert Aufgaben [mm]x\to x_0[/mm] heran
> getraut. Leider komme ich bei f) nicht weiter. Ehrlich
> gesagt, hatten wir das noch nicht in der Vorlesung, aber
> vielleicht könnt ihr mir ein Tipp geben, wie man die
> Aufgabe löst. Ein Binom sehe ich da leider nicht, kann den
> Term auch nicht geschickt umformen. Hab mal beide auf den
> selben Nenner gebracht.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{1}{2-x}-\bruch{11}{8-x^3})[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{8-x^3-22+11x)}{(2-x)(8-x^3)})[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{-x^3+11x-14)}{(2-x)(8-x^3)})[/mm]
> , ab hier komme ich nicht weiter. Als Lösung sollen da die
> uneigentlichen Grenzwerte + & - unendlich rauskommen, sehe
> es aber nicht. Sollte man sich hier vielleicht eine
> Umgebung [mm]\varepsilon[/mm] von [mm]x_0[/mm] betrachten, also [mm](x_0 \pm \varepsilon),[/mm]
> je nachdem, von welcher Seite man auf [mm]x_0[/mm] kommt und
> [mm]\varepsilon[/mm] gegen Null laufen lassen? In der Schule gabs
> mal sowas, kann mich aber nicht mehr erinnern.
>
> Gruß
Hallo,
es ist viel einfacher. Aus [mm] $8-x^3$ [/mm] lässt sich $(2-x)$ mittels Polynomdivision ausklammern.
In [mm]\bruch{x^2-5x+6}{x^2-7x+10}[/mm] solltest du zunächst Zähler unf Nenner in Linearfaktoren zerlegen, dann siehst du, dass man da kürzen kann.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Do 19.12.2013 | | Autor: | DragoNru |
Soweit habe ich das zusammen gefasst:
[mm] \limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{(2-x)(x^2+2x+4)-11(2-x)}{(2-x)(8-x^3)}) [/mm] , hier lässt sich dann das (2-x) kürzen und dann häng ich fest
[mm] limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{(x^2+2x+4)-11}{(8-x^3)}), [/mm] vielleicht noch ein Tipp?
Gruß
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Hallo,
> Soweit habe ich das zusammen gefasst:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{(2-x)(x^2+2x+4)-11(2-x)}{(2-x)(8-x^3)})[/mm]
> , hier lässt sich dann das (2-x) kürzen und dann häng
> ich fest
>
> [mm]limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{(x^2+2x+4)-11}{(8-x^3)}),[/mm]
> vielleicht noch ein Tipp?
>
Ja was passiert denn hier nun für x->2? Da braucht man doch eigentlich keinen Tipp mehr...
Je nachdem, was ihr unter Grenzwert* versteht musst du aber noch die Umgebung der Stelle x=2 auf Vorzeichenwechsel untersuchen.
*Sollen auch uneigentliche Grenzwerte berücksichtigt werden? Ich denke, so wie die Aufgabe hier formuliert ist: wohl nicht, aber ich frage zur Sicherheit.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Do 19.12.2013 | | Autor: | DragoNru |
Ok vielen dank, hab's jetzt. Mathe ist halt nicht meine Stärke
Gruß
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