Grenzwert für n gegen unendlic < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finden Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}
[/mm]
[mm] x_{n}=\bruch{n*5^n+1}{n^{25}+n!} [/mm] |
Hallo,
ich hab nun folgendermaßen begonnen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*5^n+1}{n^{25}+n!}= \bruch{5^n*n}{n!+n^{25}}+\bruch{1}{n!+n^{25}}
[/mm]
[mm] \bruch{5^n*n}{n!+n^{25}} [/mm] muss für gegen unendlich 0 werden, nur wie vereinfache ich den Term, sodass ich 0 rausbekomme?
Bei [mm] \bruch{1}{n!+n^{25}} [/mm] erhalte ich wenn ich es gegen unendlich laufen lasse [mm] \bruch{1}{\infty}=0
[/mm]
Wenn [mm] x_{n} [/mm] gegen unendlich läuft, ist der Grenzwert 0.
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Hallo missjanine,
das ist ja eine fiese Aufgabe.
> Finden Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}[/mm]
> [mm]x_{n}=\bruch{n*5^n+1}{n^{25}+n!}[/mm]
>
> ich hab nun folgendermaßen begonnen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*5^n+1}{n^{25}+n!}= \bruch{5^n*n}{n!+n^{25}}+\bruch{1}{n!+n^{25}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{5^n*n}{n!+n^{25}}[/mm] muss für gegen unendlich 0 werden,
Das wird es zwar, aber wieso muss es das?
> nur wie vereinfache ich den Term, sodass ich 0
> rausbekomme?
>
> Bei [mm]\bruch{1}{n!+n^{25}}[/mm] erhalte ich wenn ich es gegen
> unendlich laufen lasse [mm]\bruch{1}{\infty}=0[/mm]
Der Wert des Bruchs geht für [mm] n\to\infty [/mm] in der Tat gegen Null, aber die Gleichung, die Du da aufschreibst, gibt es nicht. Die Division durch unendlich ist nicht definiert.
> Wenn [mm]x_{n}[/mm] gegen unendlich läuft, ist der Grenzwert 0.
Stimmt, aber woher weißt Du das?
Ich vermute, dass Dir bewusst ist, dass für a,b>1 ab einem gewissen N für alle [mm] n\ge{N} [/mm] gilt: [mm] n^a
Wie groß N ist, hängt natürlich von a und b ab. Trotzdem ist damit abzuschätzen, dass "irgendwann" die Fakultät im Nenner das Verhalten des Bruchs bestimmt.
Deswegen ist der beste Ansatz, den Bruch durch n! zu kürzen und dann einzelne Terme darin zu betrachten.
[mm] x_n=\bruch{n*5^n+1}{n^{25}+n!}=\bruch{\bruch{n*5^n}{n!}+\bruch{1}{n!}}{\bruch{n^{25}}{n!}+1}
[/mm]
Nun ist zu zeigen: [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{n*5^n}{n!}=\lim_{n\to\infty}\bruch{1}{n!}=\lim_{n\to\infty}\bruch{n^{25}}{n!}=0.
[/mm]
Das sind immerhin sozusagen drei Unteraufgaben, aber einen einfacheren Weg sehe ich nicht, wenn Du nicht z.B. mit Landausymbolen arbeiten darfst, und das nehme ich nicht an.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Mi 28.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
wenn Du auch das Sandwich-Lemma verwenden darfst, reicht es hier auch, nur einen etwas einfacheren Grenzwert zu betrachten, nachdem Du [mm] \bruch{1}{n^{25}+n!} [/mm] schon abgespalten hast (was die Grenzwertsätze voraussetzt):
Zeige [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{5^n}{(n-1)!}=0
[/mm]
Da im Zähler n Faktoren stehen und im Nenner nur (n-1), solltest Du im Nenner noch einen zusätzlichen Faktor 1 spendieren.
Grüße
reverend
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