Grenzwert f(x) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 So 11.01.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4*x+\cos(x)}{5x} [/mm] |
Komm hier wieder nicht ganz weiter...
Kann ich die Regel für gebrochen-rationale Folgen anwenden, dass wenn Zählergrad=Nennergrad der Grenzwert= den führenden Koeffizienten ist?
das wär ja dann [mm] \bruch{4}{5}
[/mm]
Wobei doch [mm] \cos(\infty) [/mm] alle Werte vom Intervall [-1;1] annehmen kann.
...
Anders hätte ich versucht den Grenzwert auseinanderzunehmen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4*x+\cos(x)}{5x}=
[/mm]
[mm] \underbrace{\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4*x}{5*x}}_{\bruch{4}{5}}+\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\cos(x)}{5x}
[/mm]
der Zweite Grenzwert wäre zwischen [mm] \bruch{-1}{5} [/mm] und [mm] \bruch{1}{5} [/mm] wobei ich wieder bei der Frage weiter oben wäre...
Kann man hier einen eindeutigen Grenzwert bestimmen?
Danke und Gruß,
tedd
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Naja, man kann. Der Cosinus steht doch nur da, damit Du hier diese Frage stellen kannst. 
Du gibst den Wertebereich des Cosinus ja richtig an. Nimm mal die beiden Ränder, [mm] \pm1.
[/mm]
Jetzt bestimme [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4x+1}{5x} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4x-1}{5x}
[/mm]
Na, klingelts?
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Der Grenzwert ist ok.
Die Regel Nennergrad=Zählergrad auch.
Aber den ehrwürdigen Herrn de l'Hospital hättest Du dafür nicht wecken müssen. Du könntest ja vorher ein bisschen umschreiben:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4+\bruch{\cos{x}}{x}}{5}
[/mm]
Dann darf der Alte noch ein bisschen liegen bleiben.
Bis zum nächsten Mal.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 So 11.01.2009 | | Autor: | tedd |
Auf die idee mit dem x kürzen bin ich gar nicht gekomme argh...
Danke für die Hilfe reverend 
Gruß,
tedd
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hi,
dazu habe ich jetzt nochmal eine frage...
Wenn ich mir also den Term [mm] \bruch{cosx}{5x} [/mm] anschauen und nun [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] ist doch dadurch, dass 5x im Nenner steht klar, dass dieser Term gegen Null strebt, da ich das x ja dort nicht rauskürzen kann... Würde das als Begründung nicht reichen ? Also Nenner unendlich groß, nichts zum kürzen, also gegen Null ?
lg,
exeqter
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Hallo eXeQter,
> hi,
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> dazu habe ich jetzt nochmal eine frage...
>
> Wenn ich mir also den Term [mm]\bruch{cosx}{5x}[/mm] anschauen und
> nun [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] ist doch dadurch, dass 5x
> im Nenner steht klar, dass dieser Term gegen Null strebt,
> da ich das x ja dort nicht rauskürzen kann... Würde das als
> Begründung nicht reichen ? Also Nenner unendlich groß,
> nichts zum kürzen, also gegen Null ?
Nicht ganz, was, wenn im Zähler [mm] e^x [/mm] stünde, dann könntest du auch nix kürzen, der Nenner liefe immer noch gegen [mm] \infty, [/mm] in diesem Falle aber der Zähler auch, du hättest einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Un wie man zeigen kann, strebt [mm] $\frac{e^x}{5x}$ [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] für [mm] $x\to\infty$
[/mm]
Hier bei [mm] $\frac{\cos(x)}{5x}$ [/mm] kannst du zur Begrüngung, dass der GW 0 ist, benutzen, dass der Cosinus beschränkt ist, dass also [mm] $|\cos(x)|\le [/mm] 1$ ist, damit pendelt der Zähler zwischen -1 und 1, der Nenner haut ab gen [mm] \infty, [/mm] insgesamt also GW 0
>
> lg,
> exeqter
Gruß
schachuzipus
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