Grenzwert eps < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Sa 24.01.2009 | | Autor: | cmg |
| Aufgabe | Gegeben ist die Zahlenfolge 1,5/6,7/11,9/18,11/27,...
a) Ermitteln Sie [mm] a_n [/mm] und [mm] \limes_{n \to \infty} a_n [/mm] = g
b)
Berechnen Sie die Zahl [mm] n_0 \in [/mm] N für die gilt, dass [mm] |a_n [/mm] -g | < 1/10 für alle [mm] n>n_0 [/mm] |
So, nun habe ich erst mal [mm] a_n [/mm] berechnet.
[mm] a_n [/mm] = [mm] \left( \bruch{2*n+1 }{n^2+2} \right)
[/mm]
Dann habe ich den [mm] \limes_{n \to \infty} a_n [/mm] = g gebildet und g = 0 rausbekommen.
Ich hoffe bis hier ist erst mal alles richtig.
So, nun habe ich das Problem mit der Teilaufgabe b).
Ich habe also angefangen mit
| [mm] a_n [/mm] - g | < 1/10
Wenn ich nun einsätze, wie mache ich dann weiter?
Ich habe mal gedacht, einfach nach n auflösen und zwar so:
[mm] \left( \bruch{2*n+1 }{n^2+2} \right) [/mm] < 1/10
2*n +1 < [mm] \left( \bruch{2*n^2+1 }{10} \right)
[/mm]
20*n + 10 < [mm] 2*n^2+1
[/mm]
So, nun wollte ich alles auf eine seite bringen und dann mit der pq-Formel die geschichte Lösen.
Hier habe ich noch die Frage, ob auf der rechten Seite weiterhin < 1/10 stehen muss?
Ich habe mal gedacht ja und dann folgendes:
[mm] 2*n^2+20*x [/mm] +9.9
durch 2 geteilt:
[mm] n^2+10*n+4.95
[/mm]
pq-formel:
bekomme ich -5+-4.47, also negativ beides, kann ja irgendwie net sein, wo sind denn meine Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Sa 24.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
> Gegeben ist die Zahlenfolge 1,5/6,7/11,9/18,11/27,...
> a) Ermitteln Sie [mm]a_n[/mm] und [mm]\limes_{n \to \infty} a_n[/mm] = g
>
> b)
> Berechnen Sie die Zahl [mm]n_0 \in[/mm] N für die gilt, dass [mm]|a_n[/mm]
> -g | < 1/10 für alle [mm]n>n_0[/mm]
> So, nun habe ich erst mal [mm]a_n[/mm] berechnet.
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm] \left( \bruch{2*n+1 }{n^2+2} \right)[/mm]
>
> Dann habe ich den [mm]\limes_{n \to \infty} a_n[/mm] = g gebildet
> und g = 0 rausbekommen.
>
> Ich hoffe bis hier ist erst mal alles richtig.
Jepp. Ist es, wenn man die Folge mit n=1 beginnt.
> So, nun habe ich das Problem mit der Teilaufgabe b).
>
> Ich habe also angefangen mit
>
> | [mm]a_n[/mm] - g | < 1/10
> Wenn ich nun einsätze, wie mache ich dann weiter?
> Ich habe mal gedacht, einfach nach n auflösen und zwar
> so:
>
> [mm]\left( \bruch{2*n+1 }{n^2+2} \right)[/mm] < 1/10
Im Allgemeinen: Denk an die Beträge - oder, wenn du, wie hier, selbige weglassen kannst, daran zu sagen, warum: Alle Werte ohnehin positiv. ;)
> 2*n +1 < [mm]\left( \bruch{2*n^2+1 }{10} \right)[/mm]
>
> 20*n + 10 < [mm]2*n^2+1[/mm]
Schon nicht mehr richtig. Wo kommt die 2 vor dem [mm] n^2 [/mm] her? Und warum wurde aus der 2 eine 1?
> So, nun wollte ich alles auf eine seite bringen und dann
> mit der pq-Formel die geschichte Lösen.
>
> Hier habe ich noch die Frage, ob auf der rechten Seite
> weiterhin < 1/10 stehen muss?
??? Wie kommst du drauf? die "pq-Formel", wie du sie nennst, bestimmt die Nullstellen quadratischer Gleichungen.
[mm] x^2 [/mm] + px + q = 0 ist die Ausgangsgleichung, die man benötigt, um selbige anwenden zu können, das ist so direkt nicht auf eine Ungleichung zu übertragen.
> Ich habe mal gedacht ja und dann folgendes:
>
> [mm]2*n^2+20*x[/mm] +9.9
> durch 2 geteilt:
>
> [mm]n^2+10*n+4.95[/mm]
> pq-formel:
>
> bekomme ich -5+-4.47, also negativ beides, kann ja
> irgendwie net sein, wo sind denn meine Fehler?
Ein oder zwei habe ich schon mal gefunden. Vielleicht kommst du damit ja weiter.
Dein Ergebnis sollte übrigens bei [mm] n_0 [/mm] = 21 liegen. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Sa 24.01.2009 | | Autor: | cmg |
Hi, erst mal danke für deine Antwort,
> > [mm]\left( \bruch{2*n+1 }{n^2+2} \right)[/mm] < 1/10
>
> Im Allgemeinen: Denk an die Beträge - oder, wenn du, wie
> hier, selbige weglassen kannst, daran zu sagen, warum: Alle
> Werte ohnehin positiv. ;)
okäse
> > 2*n +1 < [mm]\left( \bruch{2*n^2+1 }{10} \right)[/mm]
> >
> > 20*n + 10 < [mm]2*n^2+1[/mm]
>
> Schon nicht mehr richtig. Wo kommt die 2 vor dem [mm]n^2[/mm] her?
> Und warum wurde aus der 2 eine 1?
Ja, gute Frage...^^
> > So, nun wollte ich alles auf eine seite bringen und dann
> > mit der pq-Formel die geschichte Lösen.
> >
> > Hier habe ich noch die Frage, ob auf der rechten Seite
> > weiterhin < 1/10 stehen muss?
>
> ??? Wie kommst du drauf? die "pq-Formel", wie du sie
> nennst, bestimmt die Nullstellen quadratischer Gleichungen.
> [mm]x^2[/mm] + px + q = 0 ist die Ausgangsgleichung, die man
> benötigt, um selbige anwenden zu können, das ist so direkt
> nicht auf eine Ungleichung zu übertragen.
Hmm okay, dann komm ich aber trotzdem nicht weiter.
Also ich habe die 2 von oben korrigiert und habe nun sowas:
20*n+10 < [mm] n^2+2
[/mm]
Wie bekomme ich nun die [mm] n^2 [/mm] weg? bzw muss ich das überhaupt?
Ist es überhaupt mein Ziel n auf eine Seite zu bekommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo cmg!
Bringe bei Deiner ermittelten Ungleichung alles auf eine Seite und wende anschließend die  p/q-Formel an.
Gruß
Loddar
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