Grenzwert eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, Ihr alle,
im Verlauf einer Aufgabe möchte ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} {(x^{n}-f(x))^2 dx} [/mm] bestimmen.
Kann ich da einfach sagen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x^{n}=0 [/mm] ==> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} {(x^{n}-f(x))^2 dx}= \integral_{0}^{1} {(f(x))^2 dx} [/mm] ?
Warum ist das erlaubt, bzw. warum ist es nicht erlaubt?
Im voraus danke für Eure Hilfe
Angela
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Hallo!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^{n}=0[/mm] ==>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} {(x^{n}-f(x))^2 dx}= \integral_{0}^{1} {(f(x))^2 dx}[/mm] ?
Das ist deshalb etwas problematisch, weil [mm] $x^n\to [/mm] 0$ nur für [mm] $x\in [/mm] [0;1)$. Tatsächlich konvergiert die Folge [mm] $(x^n)$ [/mm] auch nicht gleichmäßig. Deshalb kannst du die Integration nicht einfach mit dem Limes vertauschen, zumindest, solange du mit dem Riemann-Integral arbeitest.
Ist $f(x)$ beschränkt? Dann könnte man nämlich so argumentieren:
[mm] $\int_0^1(x^n-f(x))^2dx=\int_0^1x^{2n}dx-2\int_0^1x^nf(x)dx+\int_0^1f(x)^2dx$.
[/mm]
Dann ist [mm] $\int_0^1x^{2n}dx=\bruch{1}{2n+1}\to [/mm] 0$ und
[mm] $\left|\int_0^1x^nf(x)dx\right|\le \int_0^1x^n|f(x)|dx\le \int_0^1x^n\|f\|_\infty dx=\bruch{\|f\|_\infty}{n+1}\to [/mm] 0$.
Hilft dir das weiter? Sonst poste doch mal, wie $f$ genau aussieht!
Gruß, banachella
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> Hilft dir das weiter?
Danke, banachella,
ich werde jetzt über eine Begründung für die Beschränktheit von f nachdenken, und ich bin ziemlich optimistisch, daß ich jetzt allein weiterkomme.
Sonst poste doch mal, wie [mm]f[/mm] genau
> aussieht!
Das geht nicht. f ist nur eine angenommene Funktion, von der ich zeigen will, daß es sie gar nicht gibt...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Mo 06.06.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo Angela!
> Sonst poste doch mal, wie [mm]f[/mm] genau
> > aussieht!
>
> Das geht nicht. f ist nur eine angenommene Funktion, von
> der ich zeigen will, daß es sie gar nicht gibt...
So was kommt vor... Eins vielleicht noch: Es muss nicht unbedingt $f$ beschränkt sein. Es reicht auch vollkommen, wenn $x^nf$ beschränkt ist für ein [mm] $n\in\IN_0$...
[/mm]
Gruß, banachella
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> So was kommt vor... Eins vielleicht noch: Es muss nicht
> unbedingt [mm]f[/mm] beschränkt sein. Es reicht auch vollkommen,
> wenn [mm]x^nf[/mm] beschränkt ist für ein [mm]n\in\IN_0[/mm]...
Warum denn das?
Bitte banachella, kannst Du mir das Stichwort sagen, unter welchem ich nachschauen müßte? (Ich habe nach einer gaaaaaaaanz langen Pause recht viel nicht mehr parat. Braucht man nicht beim Kochen...)
Aber für mein aktuelles Problem ist es nicht wichtig, glaube ich. Es sind stetig diffbare Funktionen auf kompakten Intervallen!
Danke und Gruß v. Angela
>
> Gruß, banachella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mi 08.06.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Angela!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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