Grenzwert einer rek. Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Di 14.11.2006 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Für eine Zahl a>0 sei die Folge ( [mm] x_{n} [/mm] ) rekursiv definiert durch:
[mm] x_{n+1}=0,5(x_{n}+\bruch{a}{x_{n}}).
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] x=\wurzel{a} [/mm] ist. |
Hallo.
Ich steh hier grad voll auf dem Schlauch.
Grenzwerte von rekursiven Folgen hatten wir noch nie gemacht.
Kann ich jetzt diese e-N-Technik anwenden?
Muss ich die rekursive Folge erst in eine normale umwandeln?
Wäre sehr nett wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße.
Max
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Zeige: Die Folge ist (spätestens ab dem zweiten Glied) monoton fallend und durch [mm]\sqrt{a}[/mm] nach unten beschränkt. Dann muß sie konvergent mit positivem Grenzwert [mm]\xi[/mm] sein. Den Grenzwert [mm]\xi = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} x_n[/mm] erhältst du dann durch Grenzübergang in der Rekursionsbeziehung. Die liefert dir eine Gleichung in [mm]\xi[/mm], die sich leicht lösen läßt.
Für weitere Informationen siehe unter Heron-Verfahren nach (z.B. Wikipedia).
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