Grenzwert einer Zahlenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mo 30.06.2008 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | Man berechne mittels [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[1+(\bruch{a}{n})]^n=e^a
[/mm]
en Grenzwert lim [mm] a_{n} [/mm] , falls [mm] a_{n} [/mm] jeweils gleich ist:
[mm] [3-n^{-1/2}][1+3n^{-1}]^n[7-21(100n)^{-1}][6+n^{-1000}]^{-1}[1+n^{-1}]^{-87}[1-n^{-1}]^{-n} [/mm] |
mein Ansatz:
Faktoren [mm] [1+3n^{-1}]^n [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{3}} [/mm] , [1-n^(-1)]^(-n) = e
[mm] [3-n^{-1/2}]e^{\bruch{1}{3}} [/mm] [7-21(100n)^(-1)][6+n^(-1000)]^(-1)[1+n^(-1)]^(-87)e
kann mir jemand weiter helfen, wie ich die anderen Faktoren vereinfache?
Das Endergebnis muss [mm] (7/2)e^4 [/mm] sein.
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Danke
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> Man berechne mittels
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[1+(\bruch{a}{n})]^n=e^a[/mm]
> den Grenzwert lim [mm]a_{n}[/mm] , falls [mm]a_{n}[/mm] jeweils gleich ist:
>
> [mm][3-n^{-1/2}][1+3n^{-1}]^n[7-21(100n)^{-1}][6+n^{-1000}]^{-1}[1+n^{-1}]^{-87}[1-n^{-1}]^{-n}[/mm]
> mein Ansatz:
>
> Faktoren [mm][1+3n^{-1}]^n[/mm] = [mm]e^{\bruch{1}{3}}[/mm] , ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> [1-n^(-1)]^(-n) = e ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm][3-n^{-1/2}]e^{\bruch{1}{3}}[/mm]
> [7-21(100n)^(-1)][6+n^(-1000)]^(-1)[1+n^(-1)]^(-87)e
>
> kann mir jemand weiter helfen, wie ich die anderen Faktoren
> vereinfache?
> Das Endergebnis muss [mm](7/2)e^4[/mm] sein.
>
hallo carl,
in dem (ziemlich sonderbar zusammengeschusterten) Term
stecken nur zwei Faktor-Terme, für welche die angegebene
Formel zum Zuge kommt: der zweite mit dem Grenzwert [mm] e^3
[/mm]
(nicht [mm] e^{\bruch{1}{3}} [/mm] !) und der letzte mit dem Grenzwert e.
Alle anderen in den eckigen Klammern stehenden Faktoren
sind von einheitlicher Form, nämlich
[mm] [A+B*n^{-k}]
[/mm]
mit reellen A,B und k>0
Für jeden dieser Faktoren gilt: [mm]\ \limes_{n\rightarrow\infty}[A+B*n^{-k}]=A[/mm]
Gruß al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Mo 30.06.2008 | | Autor: | carl1990 |
Herzlichen Dank!
Für den hilfreichen Tipp :)
Grüße
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