Grenzwert einer Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Sa 28.06.2008 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | Wie lautet der Grenzwert?
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{5}{2^n})
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-3)^n}{4^n} [/mm] |
Kann mir jemand erklären, wie man am besten Grenzwerte solcher Reihen bildet?
Ich habe mir gedacht, dass es mit Hilfe eines Konvergenzkriteriums klappen könnte. Allerdings bin ich nocht nicht sehr geübt darin. Was muss ich bei diesen Reihen für ein Kriterium anwenden? Qutientenkriterium oder doch Wurzelkriterium?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitte um Hilfe
Danke
|
|
| |
|
> Wie lautet der Grenzwert?
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{5}{2^n})[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-3)^n}{4^n}[/mm]
> Kann mir jemand erklären, wie man am besten Grenzwerte
> solcher Reihen bildet?
Es handelt sich in beiden Fällen um geometrische Reihen der Form [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_1 q^n$ [/mm] mit $|q|<1$. Der Grenzwert einer solchen Reihe ist (bekanntlich) [mm] $\frac{a_1q}{1-q}$.
[/mm]
Bem: Oft beginnt der Summationsindex bei $0$, in diesem Falle erhält man: [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_0 q^n [/mm] = [mm] \frac{a_0}{1-q}$.
[/mm]
> Ich habe mir gedacht, dass es mit Hilfe eines
> Konvergenzkriteriums klappen könnte.
Mit einem Konvergenzkriterium kann man nur prüfen, ob eine unendliche Reihe konvergiert, nicht aber gegen welchen Grenzwert sie konvergiert.
> Allerdings bin ich
> nocht nicht sehr geübt darin. Was muss ich bei diesen
> Reihen für ein Kriterium anwenden? Qutientenkriterium oder
> doch Wurzelkriterium?
Beide Kriterien würden bei diesen beiden Reihen Konvergenz nachweisen. Das Wurzelkriterium ist eine Spur stärker als das Quotientenkriterium. Das Quotientenkriterium ist allerdings manchmal leichter anzuwenden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 28.06.2008 | | Autor: | carl1990 |
für b)
also [mm] \bruch{a_{1}q}{1-q}=\bruch{-3}{7}
[/mm]
bei a) steht der Exponent n lediglich im Nenner
Wie stelle ich um, dass ich nun mit der obigen Formel rechnen kann?
|
|
|
| |
|
Hallo carl1990,
> für b)
>
> also [mm]\bruch{a_{1}q}{1-q}=\bruch{-3}{7}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bei a) steht der Exponent n lediglich im Nenner
> Wie stelle ich um, dass ich nun mit der obigen Formel
> rechnen kann?
Schreibe es um: [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}5\cdot{}\frac{1}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}5\cdot{}\left(\frac{1}{2}\right)^n$
[/mm]
Klappt's so?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Sa 28.06.2008 | | Autor: | carl1990 |
genau
Vielen Dank!!!
|
|
|
|
