Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{5}}{n!}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{4}}{n!}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{3}}{n!} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen. Ich sitze schon ne ganze Weile an diesen Reihen und muss den Grenzwert berechnen... Derive sagt, dass bei der ersten Reihe 52e rauskommen muss; den Bezug zur Exp-Reihe sehe ich schon (durch das /n!), jedoch komme ich nicht auf die 52e
Schonmal Danke für eure Mühe ;)
Ollie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Delta458 |
Was ich weiß ist, dass es dazu fertige Rechenregeln gibt um den lim zu bestimmen.
Am besten wäre vllt. Wikipedia oder Google.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
kannst Du bitte Deine Reihen nochmal kontrollieren?
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{n^{5}}{n!}[/mm]
Das $n$ ist hier die obere Grenze, also fest, der Summationsindex $i$ hat überhaupt keinen Bezug, d.h. hier steht nichts anderes als:
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \bruch{n^{5}}{n!}=\underbrace{\frac{n^5}{n!}+...+\frac{n^5}{n!}}_{n \mbox{ Summanden}}=n*\frac{n^5}{n!}$
[/mm]
Ich glaube nicht, dass Du das meinst, oder? Bei den anderen Summen entsprechend.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Olllollol |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{5}}{n!} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
sorry so muss es heissen... was man nicht im kopf hat ;D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nochmal: KONTROLLIERE bitte Deine Reihen. Denn es ist
[mm] $\sum_{i=1}^n \frac{n^5}{n!}=\frac{n^6}{n!} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Edit:
Okay, das wurde mittlerweile korrigiert 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
fang an mit Summand n/n! kürze, auf 1/(n-1)!, Summation von 1 an. ist dasselbe wie
1/m! von 0 an!
jetzt [mm] n^2/n!=n/(n-1)! [/mm] wieder umsummieren folgt (m+1)/m!=m/m!+1/m! kannst du schon
dann die unterste Aufgabe, mit [mm] n^3 [/mm] usw.
Die Summenzeichen hab ich aus Faulheit weggelassen als Tip sollte es reichen!
Gruss leduart
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ja, das sehe ich ein, aber wie komme ich dann auf den grenzwert von der reihe [mm] \bruch{1}{m!} [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Olllollol!
Ganz oben hast Du doch selber geschrieben, dass Dir wegen [mm] $\bruch{1}{n!}$ [/mm] der Bezug zur Exponential-Reihe klar ist.
Also ... es gilt doch: [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \exp(1) [/mm] \ = \ e$ .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
noch konkreter (ohne zu wissen, ob es hier so gebraucht wird):
Es gilt für jedes $z [mm] \in \IC$:
[/mm]
[mm] $e^{z}=\exp(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{5}}{n!}[/mm]
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{4}}{n!}[/mm]
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{3}}{n!}[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen. Ich sitze schon ne ganze Weile an diesen
> Reihen und muss den Grenzwert berechnen... Derive sagt,
> dass bei der ersten Reihe 52e rauskommen muss; den Bezug
> zur Exp-Reihe sehe ich schon (durch das /n!), jedoch komme
> ich nicht auf die 52e
Du könntest auch von der Exponentialreihe [mm] $e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x^n$ [/mm] ausgehen und durch wiederholtes Ableiten nach $x$, Multiplizieren mit $x$, erneut nach $x$ ableiten usw. eine explzite Darstellung einer Funktion von $x$ mit einer Potenzreihe herleiten, deren Koeffizienten gerade die gewünschte Form haben. Dann kannst Du im so gefundenen Funktionsterm einfach $x=1$ setzen.
Einfaches Beispiel: Es ist [mm] $\frac{d}{dx}e^x=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n!}x^{n-1}$. [/mm] Daher ist
[mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n!}x^{n-1}=\frac{d}{dx}\left(x\cdot\frac{d}{dx}e^x\right) = 1\cdot e^x+x\cdot e^x=(x+1)e^x[/mm]
Also ist [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n!}=(1+1)e^1=2e$
[/mm]
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