Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n+1}}{n!} [/mm] |
Hallo,
ich soll den Grenzwert der Reihe bestimmen.
Leider weiß ich nicht , wie ich das hier bei einer unendlichen Summanden machen soll. Habe mich schlau gemacht und rausgefunden, dass man es entweder über Partialbruchzerlegung machen kann oder durch Partialsummen ausrechnen. Ich weiß aber nicht, wieso man das so machen soll.
Wie kann ich hier vorgehen ?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Mo 16.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
kennst du die Reihe für die e-Funktion? dann vergleiche mal!
Gruss leduart
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Hallo, habs gegoogelt und das hier gefunden:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
Wie kann ich jetzt damit etwas anfangen ? Die Reihe konvergiert wohl gegen e , aber das würde ich gerne mathematisch zeigen, nur weiß ich nicht, wie.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mo 16.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Reihe stellt [mm] e^x [/mm] dar! (nicht e)
wenn ihr die Exponentialreihe für [mm] e^x [/mm] nicht hattet, kannst du die durch Taylor herstellen (um [mm] x_0=0
[/mm]
dann vergleiche die Reihe für [mm] e^3 [/mm] mit deiner Reihe. was ist gleich, was nicht, kannst du die Reihe für [mm] e^3 [/mm] darin erkennen?
wie habt ihr die e- Funktion definiert? eigenartig, dass du das googeln musst. Ohne kenntnis der e-fkt kannst du die Summe der Reihe nicht bestimmen.
Gruß leduart
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Hallo,
wie meinst du das mit e-Funktion definiert ?
Wir haben bei der Grenzwertbetrachtung nur diese Definition gehabt:
(1 + [mm] \bruch{x}{n})^{n} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm]
Meinst du das ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 16.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Doc,
> wie meinst du das mit e-Funktion definiert ?
Es gibt zwei (mir bekannte) Möglichkeiten die Exponential-
funktion einzuführen.
[mm] \bullet [/mm] Definition als Potenzreihe (auch: Exponentialreihe)
[mm] \exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} [/mm] für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
[mm] \bullet [/mm] Definition als Grenzwert einer Folge
[mm] \exp(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n [/mm] für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
> Wir haben bei der Grenzwertbetrachtung nur diese
> Definition gehabt:
> (1 + [mm]\bruch{x}{n})^{n}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm]
> Meinst du das ?
Bist du dir ganz sicher? Spätestens bei der Einführung von
Reihen solltet ihr auf die obige Darstellung gekommen sein.
Eine andere Möglichkeit wäre der gut gegebene Hinweis von
leduart, aber so weit seid ihr in der Vorlesung wohl auch
nicht. Schau also nochmal genau nach. Eventuell wurde die
Exponentialreihe auch in der Übung oder im Tutorium einge-
führt!
Gruß
DieAcht
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Hallo,
hab schon das ganze Skript angeguckt , auch in meinen Aufzeichungen, finde diese Reihe nicht.
Ist ja auch egal, geht sicherlich auch so , jetzt kenne ich die Reihe ja.
Also, wie kann ich den Grenzwert der Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n+1}}{n!} [/mm] berechnen.
Bräuchte nur einen Ansatz..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mo 16.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> hab schon das ganze Skript angeguckt , auch in meinen
> Aufzeichungen, finde diese Reihe nicht.
Das ist sehr komisch, denn nur falls eine Reihe konvergiert
kann man sich auch mit dem Grenzwert beschäftigen.
> Ist ja auch egal, geht sicherlich auch so , jetzt kenne ich
> die Reihe ja.
Ich würde dennoch mal nachfragen.
> Also, wie kann ich den Grenzwert der Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n+1}}{n!}[/mm] berechnen.
>
> Bräuchte nur einen Ansatz..
Der Ansatz ist die Exponentialreihe
[mm] \exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} [/mm] für alle [mm] x\in\IR,
[/mm]
denn für [mm] $x=3\$ [/mm] erhalten wir
[mm] \exp(3)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{n!}.
[/mm]
Jetzt du.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Mo 16.06.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Danke für die Antwort.
Ich seh schon, das ist ohne Kenntnis der e-Reihe nicht ganz einfach. Ich habe morgen eine Mathe-Vorlesung , werde da mal nachfragen und dann komme ich zurück zu dieser Aufgabe.
Schon mal ein großes Dankeschön an euch beide !
EDIT: Oh sorry, sollte eine Mitteilung werden. Bitte als Mitteilung markieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mo 16.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Danke für die Antwort.
> Ich seh schon, das ist ohne Kenntnis der e-Reihe nicht
> ganz einfach. Ich habe morgen eine Mathe-Vorlesung , werde
> da mal nachfragen und dann komme ich zurück zu dieser
> Aufgabe.
>
> Schon mal ein großes Dankeschön an euch beide !
Mach das.
> EDIT: Oh sorry, sollte eine Mitteilung werden. Bitte als
> Mitteilung markieren.
Ich beantworte das mal als Mitteilung. Dann ist es weg. 
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Hallo nochmal,
inzwischen hat sich rausgestellt, dass ich nur die Konvergenz der Reihe beweisen muss, brauche also nicht explizit den Grenzwert zu bestimmen.
Ferner wurde mir als Tipp mit auf den Weg gegeben , dass ich das durch Abschätzen machen soll.
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n+1}}{n!} [/mm] $
Wenn ich jetzt n [mm] \ge [/mm] 3 nehme , habe ich:
[mm] \bruch{3^{n+1}}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{3*3*3*3...*3}{1*1*2*3...*n}
[/mm]
2 Fragen:
Ist das n okay , oder muss ich ein anderes nehmen, darf man ein beliebiges nehmen ?
Wie geht es jetzt weiter, was hat mir diese Abschätzung nun gebracht ?
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Hallo,
> Hallo nochmal,
>
> inzwischen hat sich rausgestellt, dass ich nur die
> Konvergenz der Reihe beweisen muss, brauche also nicht
> explizit den Grenzwert zu bestimmen.
> Ferner wurde mir als Tipp mit auf den Weg gegeben , dass
> ich das durch Abschätzen machen soll.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n+1}}{n!}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt n [mm]\ge[/mm] 3 nehme , habe ich:
>
> [mm]\bruch{3^{n+1}}{n!}[/mm] = [mm]\bruch{3*3*3*3...*3}{1*1*2*3...*n}[/mm]
>
> 2 Fragen:
> Ist das n okay , oder muss ich ein anderes nehmen, darf
> man ein beliebiges nehmen ?
mir gefällt es farblich irgendwie nicht so gut, und auch die Schriftart ist irgendwie langweilig. Aber mal Flachs beiseite: was soll die Frage in dem Zusammenhang denn bedeuten? Abgesehen davon, dass das oben missverständlich geschrieben ist (im Zähler muss eine 3 mehr stehen): deine Frage ist völlig sinnfrei bzw. man versteht sie mal wieder nicht, weil du dir keine Mühe gegeben hast zu formulieren, was du eigentlich wissen möchtest.
>
> Wie geht es jetzt weiter, was hat mir diese Abschätzung
> nun gebracht ?
Wo bitteschön hast du eine Abschätzung vorgenommen? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Mit Abschätzen kann ja eigentlich nur das Majorantenkriterium gemeint sein. Ich habe zwar einen Weg gefunden, wie das hier geht, das erscheint mir aber etwas deplaziert, weil die Abschätzung auch nicht so ganz ohne ist (oder ich habe etwas übersehen).
Wenn das nur ein Ratschlag war, dann möchte ich dir einen in meinen Augen besseren Ratschlag geben: ein reiner Konvergenzbeweis geht hier viel einfacher mit dem Quotientenkriterium.
Und auch hier mal wieder die in meinen Augen objektive Feststellung: hättest du deine Frage gründlicher Vorbereitet inkl. Recherchieren, was an Konzepten zur Verfügung steht, dann wäre das ganze längst erledigt...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:04 Di 17.06.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
also die Kriterien bei Konvergenzbetrachtung kenne ich, aber ich habe es nicht für nötig angesehen, diese zu erwähnen, da man die Konvergenz dieser Reihe wohl auch durch Abschätzung beweisen kann. In den vorherigen Posts war auch nicht die Rede von irgendwelchen Kriterien, sodass ich diese auch jetzt vernachlässigt habe, wobei sie mir natürlich bekannt sind.
Meine Frage ist nun, was diese Abschätzung in Bezug auf den Beweis bringen soll ?
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Hallo pc-doctor!
> also die Kriterien bei Konvergenzbetrachtung kenne ich,
> aber ich habe es nicht für nötig angesehen, diese zu
> erwähnen, da man die Konvergenz dieser Reihe wohl auch
> durch Abschätzung beweisen kann.
Auch das sind Konvergenzkriterien: entweder Minoranten- oder Majorantenkriterium.
> Meine Frage ist nun, was diese Abschätzung in Bezug auf
> den Beweis bringen soll ?
Nochmal: von welcher Abschätzung redest Du denn überhaupt?
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
okay, ich habe weitergerechnet und habe das hier :
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n+1}}{n!} [/mm] $
n [mm] \ge [/mm] 3
[mm] \bruch{3^{n+1}}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{3*3*3*3*...*3}{1*1*2*3*...n}
[/mm]
[mm] \le \bruch{3*3*3}{1*1*2} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{3})^{n-3}
[/mm]
= [mm] \bruch{27}{2} [/mm] * [mm] \bruch{3}{3}^{n-3}
[/mm]
Weil [mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{27}{2}*\bruch{3}{3}^{n-3} [/mm] < [mm] \infty [/mm] gilt , ist auch
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n+1}}{n!} \le \summe_{n=0}^{2} \bruch{3^{n+1}}{n!} [/mm] + [mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{27}{2}*(\bruch{3}{3})^{n} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Also muss die Reihe doch konvergent sein ?
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Hallo,
> Hallo,
>
> okay, ich habe weitergerechnet und habe das hier :
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n+1}}{n!}[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] 3
>
> [mm]\bruch{3^{n+1}}{n!}[/mm] = [mm]\bruch{3*3*3*3*...*3}{1*1*2*3*...n}[/mm]
>
>
> [mm]\le \bruch{3*3*3}{1*1*2}[/mm] * [mm](\bruch{3}{3})^{n-3}[/mm]
Wie kommst du darauf? Wieso im ersten Nenner [mm]1\cdot{}1[/mm] ?
>
>
> = [mm]\bruch{27}{2}[/mm] * [mm]\bruch{3}{3}^{n-3}[/mm]
>
> Weil [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{27}{2}*\bruch{3}{3}^{n-3}[/mm] < [mm]\infty[/mm] gilt
Aha, begründe mal "weil"
Das ist hochgradig divergent - Stichwort geometrische Reihe.
Du kannst alle konstanten Faktoren rausziehen und hast [mm]M\cdot{}\sum\limits_{n\ge 3}3^n[/mm] - und das Biest ist höchst divergent ...
> , ist auch
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n+1}}{n!} \le \summe_{n=0}^{2} \bruch{3^{n+1}}{n!}[/mm]
> + [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{27}{2}*(\bruch{3}{3})^{n}[/mm] <
> [mm]\infty[/mm]
> Also muss die Reihe doch konvergent sein ?
Nein, das ist Quatsch mit Sauce. Eine mögliche Abschätzung habe ich dir in meiner anderen Antwort genannt ...
Gruß
schachuzipus
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Also ich blicke da jetzt gar nicht mehr durch. Habe irgendwie den Faden verloren. Habe deine Antwort mehrmals durchgelesen und verstehe da nur Bahnhof. (nichts gegen dich , aber irgendwie steckt der Wurm heut drin )
Ich möchte doch einfach nur diese blöde Konvergenz der Reihe beweisen :(
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Hallo,
> Ich möchte doch einfach nur diese blöde Konvergenz der
> Reihe beweisen :(
falsche Einstellung. Außerdem: QUOTIENTENKTRITERIUM
Gruß, Diophant
PS: die Art und Weise, wie du hier andere 'beschäftigst' die ist halt einfach nicht in Ordnung, um es mal höflich auszudrücken. Du darfst dich also nicht wundern, wenn zu den Antworten bspw. Sauce und anderes gereicht wird. Mache jetzt erst einmal deine Hausaufgaben, indem du alle Antworten nochmals gründlich durchliest. Im Prinzip stehen hier drei Wege fertig da, aber du machst immer weiter damit, die Antworten konsequent zu ignorieren.
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Hallo nochmal,
ich probiere es jetzt noch einmal ( danke für die bisherigen Antworten)
Jetzt nach QK:
| [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3^{n+2}}{(n+1)!} [/mm] / [mm] \bruch{3^{n+1}}{n!} [/mm] (soll ein Doppelbruch sein , hab keinen Doppelbruch hinbekommen)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!(3^{n+2})}{(n+1)!(3^{n+1})}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n!}{(n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{3^{n+2}}{3^{n+1}}
[/mm]
Der Ansatz ist richtig oder ?
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Hallo nochmal,
> Hallo nochmal,
>
> ich probiere es jetzt noch einmal ( danke für die
> bisherigen Antworten)
>
> Jetzt nach QK:
>
> | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] |
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3^{n+2}}{(n+1)!}[/mm]
> / [mm]\bruch{3^{n+1}}{n!}[/mm] (soll ein Doppelbruch sein
> , hab keinen Doppelbruch hinbekommen)
>
>
> [mm]\red{=}[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!(3^{n+2})}{(n+1)!(3^{n+1})}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{n!}{(n+1)!}[/mm] * [mm]\bruch{3^{n+2}}{3^{n+1}}[/mm]
Das ist grausam aufgeschrieben.
Richtig: [mm]\red{=\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{n!}{(n+1)!}\cdot{}\frac{3^{n+2}}{3^{n+1}}[/mm]
>
> Der Ansatz ist richtig oder ?
Ja, berechne den letzten GW, es sollte sich ein GW [mm]K<0[/mm] ergeben für Konvergenz ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Di 17.06.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Okay, vielen Dank für die ganzen Antworten und sorry noch mal für die Verwirrung , heute ist nicht so mein Tag :)
Tausend Dank
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:57 Di 17.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nochmal,
>
> > Hallo nochmal,
> >
> > ich probiere es jetzt noch einmal ( danke für die
> > bisherigen Antworten)
> >
> > Jetzt nach QK:
> >
> > | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] |
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3^{n+2}}{(n+1)!}[/mm]
> >
> / [mm]\bruch{3^{n+1}}{n!}[/mm] (soll ein Doppelbruch sein
> > , hab keinen Doppelbruch hinbekommen)
> >
> >
> > [mm]\red{=}[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!(3^{n+2})}{(n+1)!(3^{n+1})}[/mm]
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> >
> > [mm]\gdw \bruch{n!}{(n+1)!}[/mm] * [mm]\bruch{3^{n+2}}{3^{n+1}}[/mm]
>
> Das ist grausam aufgeschrieben.
>
> Richtig:
> [mm]\red{=\lim\limits_{n\to\infty}}\frac{n!}{(n+1)!}\cdot{}\frac{3^{n+2}}{3^{n+1}}[/mm]
>
> >
> > Der Ansatz ist richtig oder ?
>
> Ja, berechne den letzten GW, es sollte sich ein GW [mm]K<0[/mm]
> ergeben für Konvergenz ...
das wäre mir neu.  (Du meinst $|K| < [mm] 1\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
jo, habe mich vertippt, sollte natürlich eine 1 sein.
Die Redundanz des Betrages habe ich weggelassen.
Danke für das Aufspüren meines Fehlers.
Gruß
schachuzipus
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Hallo pc_doctor,
dein Anfang war zumindest richtig gedacht. Daher hier ausnahmsweise die Lösung:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty}\bruch{\bruch{3^{n+2}}{(n+1)!}}{\bruch{3^{n+1}}{n!}}
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{3^{n+2}}{3^{n+1}}*\bruch{n!}{(n+1)!}\right)
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty}\bruch{3}{n+1}=0<1
[/mm]
Ich bitte in diesem Zusammenhang, meine Kritik nicht falsch zu verstehen. Wenn man in einer nachhaltigen Situation der Überforderung ist, dann ist es wichtig, dieses ständige Anrennen gegen irgendwelche Mauern aufzugeben und dafür ganz schnell zu beginnen, auf sich selbst zu achten und aufzupassen. Das fängt damit an, anstelle von vielen Dingen in größtmöglicher Hektik lieber weniger, aber das gründlich und sorgfältig zu tun. Es kann aber auch wichtig sein, sich zu fragen, ob das, was man macht, für einen selbst das richtige ist und auch, ob das Wie, wie man die Dinge angeht, zu einem passt oder ob man nicht doch auch persönlich etwas verändern kann, um die Dinge zu verbessern. Klarkommen musst du letztendlich, bzw. wünschen wir das hier sicherlich jedem User!
Gruß, Diophant
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Hallo Doc,
> Hallo nochmal,
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> inzwischen hat sich rausgestellt, dass ich nur die
> Konvergenz der Reihe beweisen muss, brauche also nicht
> explizit den Grenzwert zu bestimmen.
Mit der Angabe des GW hast du doch die Konvergenz automatisch ...
> Ferner wurde mir als Tipp mit auf den Weg gegeben , dass
> ich das durch Abschätzen machen soll.
Sehr schnell geht das mit dem Quotientenkriterium, aber wenn's denn unbedingt eine Abschätzung sein soll, so hilft vllt. folgende einfach zu zeigende Abschätzung ...
Vorab: ich nehme an, ihr hattet schon die geometrische Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 0}q^n[/mm] kennengelernt und deren Konvergenzverhalten in Abh. von [mm]q[/mm] ?!
Nun denn, wenn ihr das hattet, zeige mal (per Induktion), dass [mm]n!\ge 4^n[/mm] ab einem gewissen [mm]n_0\in\IN[/mm] gilt.
Bzw. [mm]n!\ge 4^{n+1}[/mm] ...
Das ist nicht schwer ...
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n+1}}{n!}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt n [mm]\ge[/mm] 3 nehme , habe ich:
>
> [mm]\bruch{3^{n+1}}{n!}[/mm] = [mm]\bruch{3*3*3*3...*3}{1*1*2*3...*n}[/mm]
>
> 2 Fragen:
> Ist das n okay , oder muss ich ein anderes nehmen, darf
> man ein beliebiges nehmen ?
>
> Wie geht es jetzt weiter, was hat mir diese Abschätzung
> nun gebracht ?
Du hättest dann gegen eine bekannte konvergente geometr. Reihe als Majorante abgeschätzt, was bliebe da deiner armen kleineren Ausgangsreihe als nicht auch zu konvergieren?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Di 17.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n+1}}{n!}[/mm]
hier wurde schon viel gesagt, und ich will nicht alles wiederholen, aber ich
habe auch nicht alles gelesen - ich halte mal fest, was Du Dir hier behalten
solltest:
1. [mm] $\exp(x)=\sum_{k=0}^\infty (x^k/k!)\,,$
[/mm]
das gilt sogar für alle $x [mm] \in \IC\,,$ [/mm] und die Reihe rechterhand konvergiert dabei
stets. (Sowas kannst Du ![[]](/images/popup.gif) hier: Kap. 6/7 (klick!) nachlesen!).
Daraus ergibt sich, dass oben nichts anderes als
[mm] $3*e^3$
[/mm]
steht (mit [mm] $e:=\exp(1)\,.$). [/mm] Nebenbei: [mm] $e\,$ [/mm] muss auch mal auf irgendeine
Weise definiert werden/worden sein - wie willst Du sonst, wenn nicht gerade
[mm] $e:=\exp(1)$ [/mm] definiert wurde, denn [mm] $e=\exp(1)$ [/mm] nachweisen? Man kann z.B.
auch anfangen und erstmal
[mm] $e:=\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n$
[/mm]
definieren (dazu muss man aber erstmal begründen, dass dieser Grenzwert
existiert). Und dann wäre in
[mm] $\exp(1)=\sum_{k=0}^\infty [/mm] (1/k!)$ [mm] $\red{=}$ $e\,$
[/mm]
die rote Gleichheit eine zu beweisende Aussage!
2. Eigentlich willst Du, wie Du ergänzt hattest, ja nur die Kgz. der Reihe
oben erkennen. Das geht relativ leicht mit dem Quotientenkriterium.
3. Ihr solltet das vielleicht aber mit dem Majo.-Krit. machen:
Idee: Vielleicht ist ja
[mm] $3^n/n! \le \frac{1}{n*(n-1)}$
[/mm]
für genügend große [mm] $n\,$?
[/mm]
Test: Das ist für natürliches $n [mm] \ge [/mm] 1$ genau dann der Fall, wenn
[mm] $3^n \le [/mm] (n-2)!$
gilt.
Behauptung: Obige Ungleichung gilt für alle $n [mm] \ge 11\,.$
[/mm]
Beweis: Für n=11 ist
[mm] $3^{11}=177147$ [/mm] und [mm] $(11-2)!=9!=362880\,.$
[/mm]
Sei nun also $n [mm] \ge [/mm] 11$ eine natürliche Zahl mit [mm] $3^n \le (n-2)!\,.$ [/mm] Dann folgt
[mm] $(n-1)!=(n-1)*(n-2)!\;\ge\;(n-1)*3^n$
[/mm]
nach I.V.. Wegen $n [mm] \ge [/mm] 11$ ist $n-1 [mm] \ge [/mm] 10 [mm] \ge 3\,,$ [/mm] und damit sodann
[mm] $(n-1)!\;\ge\;3*3^n=3^{n+1}\,.$
[/mm]
Dieses Ergebnis könntest Du nun beim Majo.-Kriterium verwenden. (Beachte:
[mm] $\sum_{k=\red{2}}^\infty \frac{1}{k*(k-1)}$
[/mm]
konvergiert - warum? Tipp:  Teleskopsumme lesen!)
P.S. Schachuzipus hatte anscheinend auch eine Abschätzung vorgeschlagen.
Die gehe ich jetzt mal suchen, um herauszufinden, ob er die gleiche Idee
hatte, oder aber eine andere.
P.P.S. Ich denke, Du könntest hier, für $p [mm] \ge 2\,,$ [/mm] und (in Abhängigkeit der Wahl
von [mm] $p\,$) [/mm] genügend große [mm] $n\,$ [/mm] sicher
[mm] $3^n/n! \le \frac{1}{n^p}$
[/mm]
benutzen. Dabei muss dann aber (etwa mit dem Verdichtungskriterium, oder
auch mit dem Majo.-Kr. und der oben erwähnten Reihe [mm] $\sum [/mm] 1/(k(k+1))$) begründet
werden, dass
[mm] $\sum 1/n^p$
[/mm]
konvergiert.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Di 17.06.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hey Marcel,
auch dir ein großes Dankeschön.
Habe mir das Skript gleich runtergeladen und werde es mir angucken , ist auf jeden Fall umfrangreicher als unser Skript.
Deine Rechnungen muss ich mir mehrmals durchlesen, werde ich auch jetzt machen.
Danke dir.
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