Grenzwert einer Funktion zweier Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 So 20.06.2004 | | Autor: | Evi |
Hallo an alle!
Ich hoffe, ihr könnt mir bei meinem kleinen Problem helfen. Die Aufgabe ist sichrlich nicht schwer, jedoch kann ich mit ihr absolut nicht umgehen. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
[mm] \limes_{(x,y) \to \(0,0)}sin(x^2*sin(y))/(x^2*y)
[/mm]
Es wäre auch sehr schön, wenn ihr mir mehr von solchen Aufgaben (am bessten natürlich mit Lösungen) geben würdet, damit ich ein bisschen üben kann.
MFG, Evi.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Evi
> Hallo an alle!
> Ich hoffe, ihr könnt mir bei meinem kleinen Problem
> helfen. Die Aufgabe ist sichrlich nicht schwer, jedoch kann
> ich mit ihr absolut nicht umgehen.
>
> [mm]\limes_{(x,y) \to \(0,0)}sin(x^2*sin(y))/(x^2*y)
[/mm]
Mit dem Standardverfahren, auf der x-y-Ebene auf einer Kurve/Linie gegen $(0,0)$ zu schreiten, gibt das eine immense Rechnerei.
Ich bin nicht ganz sicher (das steht aber sicherlich in deinem Vorlesungsskript), ob man so argumentieren darf:
[mm] $\limes_{y \to 0} \sin [/mm] y = y$
womit sich der Ausdruck umformen liesse zu
[mm] $\limes_{(x,y) \to (0,0)}\sin(x^2*sin(y))/(x^2*y) [/mm] = [mm] \limes_{(x,y) \to (0,0)}\sin(x^2*y)/(x^2*y)$
[/mm]
Und dann nach De l'Hôpital
[mm] $\limes_{f \to 0}\bruch{sin(f)}{f}=\limes_{f \to 0}\bruch{f'*\cos f}{f'}=\limes_{f \to 0}\cos [/mm] f = 1$
Kannst du oder jemand anderes aus dem Matheforum die Korrektheit dieser Argumentation überprüfen? Rein intuitiv wäre ich dafür, aber Intuition ist leider kein Beweis! 
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Paul!
So wollte ich eigentlich auch zuerst argumentieren, aber ich glaube nicht, dass man das so darf. Jedenfalls sehe ich keine Berechtigungsgrundlage dafür.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, Pauls Intuition war doch völlig richtig. Der allzu kritische Stefan hätte sich da mal nicht so blöd anstellen sollen. (Er verzeiht mir das sicherlich.  )
Allseits bekannt ist die Aussage (Beweis mit de l'Hospital, siehe Paul), dass für die Funktion
$f : [mm] \begin{array}{ccc} \IR & \to & \IR \\[5pt] x & \mapsto & \frac{\sin(x)}{x} \end{array}$
[/mm]
gilt:
[mm] $\lim\limits_{x \to 0} [/mm] f(x) = 1$.
Nun sind aber die Funktionen
$g : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^2 & \to & \IR \\[5pt] (x,y) & \mapsto & x \cdot y \end{array}$
[/mm]
und
$h : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^2 & \to& \IR^2 \\[5pt] (x,y) & \mapsto & (x^2, \sin(y)) \end{array}$
[/mm]
stetig und es gilt: $h((0,0))=(0,0)$ sowie $g((0,0))=0$.
Daraus folgt:
[mm] $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{sin(x^2 \sin(y))}{x^2 \sin(y)} [/mm] = [mm] \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] h)(x,y) = 1$.
Wegen [mm] $\lim\limits_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y}=1$ [/mm] folgt nun:
[mm] $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{sin(x^2 \sin(y))}{x^2 y} [/mm] = [mm] \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{sin(x^2 \sin(y))}{x^2 \sin(y)} \cdot \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(y)}{y}=1$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Evi |
Hallo an alle.
Zuerst vielen Dank für eure Hilfe! Also ich glaube nicht, dass man hier die Regel von Hospital anwenden darf, denn in meinem Skript steht es nicht.
Es gelten Cauchykriterium, Folgenkriterium und die Limesgesetze (a*,+,+,+,/). Sonst hätte ich es ja auch angewandt. Also seid ihr euch wirklich GANZ SICHER, dass man die Regel von Hospital hier benutzen darf?
MFG, Evi.
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[vertrag]](/images/smileys/vertrag.gif "[vertrag]"){kind=small}
