Grenzwert einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Mo 27.06.2011 | | Autor: | cahoona |
| Aufgabe | [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=\bruch{x^{4}-3x^{2}+1}{x^{2}+2x+1}
[/mm]
Berechnen Sie den Grenzwert für [mm] \pm\infty [/mm] |
Ich habe die Aufgabe schon soweit auseinandergebaut, dass ich die Grenzwertsätze für Folgen anwenden kann:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=\bruch{x^{4}-3x^{2}+1}{x^{2}+2x+1}\gdw
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=\bruch{x^{4}}{x^{4}}\*\bruch{1-\bruch{3}{x^{ 2}}+\bruch{1}{x^{2}}}{\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{2}{x^{3}}+\bruch{1}{x^{4}}}\gdw
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=\bruch{1-\bruch{3}{x^{ 2}}+\bruch{1}{x^{2}}}{\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{2}{x^{3}}+\bruch{1}{x^{4}}}
[/mm]
Meines Erachtens nach geht doch der Grenzwert für [mm] -\infty [/mm] auch in Richtung [mm] -\infty. [/mm] Aber Laut Zeichnung geht der Grenzwert für [mm] \pm\infty [/mm] Rtg. [mm] +\infty
[/mm]
Bitte helft mir bei meinem Denkfehler.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mo 27.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du die Polynomdivision ausführst, ergibt sich:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^{4}-3x^{2}+1}{x^{2}+2x+1} [/mm] $
$ [mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}x^{2}-2x+\frac{2x+1}{x^{2}+2x+1} [/mm] $
Hier sieht man doch recht deutlich, dass beide Grenzwerte [mm] +\infty [/mm] sind (das x² ist der entscheidende Summand)
Bei deinem Weg:
Der Zählergrenzwert ist quasi:
1- [mm] "\infty" [/mm] + [mm] "\infty" [/mm] =1
Und der Nennergrenzwert:
[mm] "\infty" [/mm] - [mm] "\infty" [/mm] + [mm] "\infty" [/mm] = [mm] "\infty" [/mm]
Ausserdem ist die vierte Potenz auch hier der "am stärksten zu gewichtende" Faktor.
Dazu hat reverend ja noch eine Anmerkung verfasst, danke dafür.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Mo 27.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
> Bei deinem Weg:
>
> Der Zählergrenzwert ist quasi:
> 1- <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] \infty"$"="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] \infty""=""> [/mm] + <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] \infty"$"="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] \infty""=""> [/mm] =1
>
> Und der Nennergrenzwert:
> <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] \infty"$"="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] \infty""=""> [/mm] - <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] \infty"$"="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] \infty""=""> [/mm] + <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] \infty"$"="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] \infty""=""> [/mm] = <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] \infty"$"="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] \infty""=""> [/mm]
Nu guck, beim Zitieren verschwindet die Unendlichkeit.
Und ansonsten geht das aber noch nicht einmal quasi oder sozusagen!
[mm] \infty-\infty [/mm] ist schlicht nicht definiert, auch nicht in Anführungszeichen.
> Ausserdem ist die vierte Potenz auch hier der "am
> stärksten zu gewichtende" Faktor.
Das sieht man deutlich, wenn man cahoonas Weg so geht, dass man im Zähler [mm] x^4 [/mm] und im Nenner nur [mm] x^{\blue{2}} [/mm] ausklammert.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Mo 27.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> ist schlicht nicht definiert, auch nicht in
> Anführungszeichen.
Stimmt, ich habs gestrichen
>
> > Ausserdem ist die vierte Potenz auch hier der "am
> > stärksten zu gewichtende" Faktor.
>
> Das sieht man deutlich, wenn man cahoonas Weg so geht, dass
> man im Zähler [mm]x^4[/mm] und im Nenner nur [mm]x^{\blue{2}}[/mm]
> ausklammert.
>
> Grüße
> reverend
>
Stimmt, das ist der eleganteste Weg.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Mo 27.06.2011 | | Autor: | cahoona |
Hallo zusammen,
danke für die rege Beteiligung, 1/n konvergiert meines Wissens nach nicht gegen [mm] \infty [/mm] sondern gegen 0, daher war ich etwas verwirrt bei der ersten Antwort, allerdings habe ich nach mehrmaligem über die Aufgabe sehen meinen Denkfehler entdeckt und sehe die aufgabe nun als beantwortet an.
Vielen Dank!
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