Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 So 05.12.2010 | | Autor: | aga88 |
| Aufgabe | Zeige, dass die Folge [mm] (x_n)_n\in \IN [/mm] mit [mm] x_n=\bruch{ \wurzel{n} - 5} {\wurzel n+1} [/mm] einen Grenzwert a [mm] \in \IR [/mm] besitzt und bestimme ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] so, dass für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] gilt:
[mm] Ix_n-aI [/mm] < 0,02 . |
Hier habe ich versucht die Grenzwertsätze anzuwenden, aber ich komme letzten endes auf kein Ergebnis, da ich diese nur als Formel aufgeschrieben hab, aber nicht genau weiß wie ich sie anwenden kann.
Danke im Voraus für die Hilfe.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 So 05.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi aga,
mal ein ganz kleines Beispiel:
was ist der Grenzwert der Folge, die durch [mm] a_n=2+\bruch{1}{n} [/mm] definiert wird? Es gilt dank der Grenzwertsätze [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2+\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}2+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=2+0=2.
[/mm]
Man versteht hierbei eine (kompliziertere) Folge als Summe (oder Produkt usw.) von einfacherern Folgen, deren Grenzwerte man leichter bestimmen kann. Hier sehe ich die Folge [mm] 2+\bruch{1}{n} [/mm] als Summe einer konstante Folge und einer Nullfolge an. Die GWsätze erlauben jetzt einzeln die GW zu betrachten und dann diese aufzusummieren zum GW der ursprünglichen Folge. Wichtig ist, dass bei der Aufteilung Folgen entstehen, die konvergent sind, sonst gelten diese Regeln nicht.
Bei deiner Aufgabe würde man auch gerne die GWsätze anwenden, muss aber vorher noch einen kleinen Trick benutzen, da diese ja nur gelten, wenn alle beteiligten Folgen konvergieren.
Klammere dazu im Zähler und Nenner [mm] \wurzel{n} [/mm] aus und kürze es dann weg.
Dann betrachte Zähler und Nenner als zwei verschiedene Folgen, deren Grenzwert du bestimmen kannst.
Dann erhälst du den Grenzwert von [mm] (x_n) [/mm] als Quotienten der einzelnen Grenzwerte.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 05.12.2010 | | Autor: | aga88 |
Stimmt auf das Ausklammern hätte ich selbst kommen können :P
ist das dann richtig, dass ich als Grenzwert jeweils 1 kriege? Also [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1?
Als nächstes würde ich also die 1 für a einsetzen und erhalte 0 < 0,02 ?
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Hallo,
> Stimmt auf das Ausklammern hätte ich selbst kommen können
> :P
Das ist ein Standard-"Trick". Den musst du dir merken. Er funktioniert häufig, vor allem dann, wenn die höchste Potenz der Variablen in Zähler und Nenner gleich ist. Aber manchmal finden sich so auch sonst noch Informationen, die z.B. bei Minoranten- oder Majorantenkriterium verwertbar sind.
> ist das dann richtig, dass ich als Grenzwert jeweils 1
> kriege? Also [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1?
Ja, das ist richtig.
> Als nächstes würde ich also die 1 für a einsetzen und
> erhalte 0 < 0,02 ?
Nein. Im letzten Teil der Aufgabe ist doch ein [mm] n_0 [/mm] gesucht, so dass die Behauptung ...<0,02 für alle [mm] n\ge n_0 [/mm] wahr ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 So 05.12.2010 | | Autor: | aga88 |
und wie bestimme ich dieses [mm] n_0?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 So 05.12.2010 | | Autor: | Walde |
Es soll ja gelten:
[mm] |x_n-1|<0,02
[/mm]
also [mm] |\bruch{\wurzel{n}-5}{\wurzel{n}+1}-1|<0,02
[/mm]
löse nach n auf. Tipp: Du kannst den Betrag los werden, indem du dir überlegst, ob [mm] x_n [/mm] immer grösser oder kleiner als 1 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 So 05.12.2010 | | Autor: | aga88 |
also [mm] x_n [/mm] sollte kleiner als 1 und größe 0 sein oder?
aber das mit dem nach n auflösen. da komme ich überhaupt nicht zurecht.
Habe nun am Ende: 1-50n < n
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 So 05.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist $ [mm] |\bruch{\wurzel{n}-5}{\wurzel{n}+1}-1|=\bruch{6}{\wurzel{n}+1} [/mm] $
FRED
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