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| Aufgabe | | Sei [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{2 + \wurzel{2 + ... +\wurzel{2+\wurzel{2}}}} [/mm] (die Wurzel kommt n Mal vor). Man berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}. [/mm] (Hinwei: Zeigen Sie zunächst die Existens des Grenzwertes. Finden Sie dann eine Rekurrente Formel für [mm] a_{n} [/mm] und benutzen Sie diese.) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versuche diese Aufgabe genau nach der Aufgabenstellung zu lösen, das beudeutet ja zuerst den Grenzwert zu beweisen und dann den Grenzwert mit einer Rekurrenten Formel zu bestimmen.
Ich komme aber beim Zeigen, dass es einen Grenzwert gibt, nicht weiter. Ich habe erst nur gezeigt, wobei ich auch hoffe, dass dies richtig ist, dass [mm] a_{n} [/mm] monoton wachsend ist. Aber wie zeige ich nun, dass [mm] a_{n} [/mm] beschränkt ist? (Ohne Rekurrente Formel)???
Meine Rechnung bis jetzt:
[mm] a_{0} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] ; [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{2 + \wurzel{2}} [/mm] ; [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{2 + \wurzel{2 + ... +\wurzel{2+\wurzel{2}}}} [/mm]
[mm] a_{1} [/mm] > [mm] a_{0}
[/mm]
[mm] \wurzel{2 + \wurzel{2}} [/mm] > [mm] \wurzel{2} [/mm] | (zum Quadrat)
2 + [mm] \wurzel{2} [/mm] > 2 (wahr)
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] > 0
[mm] \wurzel{2 + \wurzel{2 + ... +\wurzel{2 +\wurzel{2 +\wurzel{2}}}}} [/mm] - [mm] \wurzel{2 + \wurzel{2 + ... +\wurzel{2+\wurzel{2}}}} [/mm] > 0
[mm] \wurzel{2} [/mm] > 0 | (wahr)
Ist mein Anfang richtig? Wenn nicht, wie macht man das? Und was wichtiger ist, wie löse ich nun die Aufgabe, wie kömme ich zum Grenzwert.
Schon mal großen Dank für die Antwort
ArthosWing
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Di 25.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ArthosWing!
Sieh mal hier, da wurde dieselbe Folge ausführlich behandelt.
In Deinem Falle gilt halt $c \ = \ 2$ .
Gruß
Loddar
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