Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Mi 21.03.2007 | | Autor: | HendrikZ |
| Aufgabe | | Man untersuche, ob die Folge [mm] (a_n)_{n\varepsilon\IN} [/mm] mit [mm] a_n=\wurzel{n}*(\wurzel[4]{n^2+n}-\wurzel{n}) [/mm] für [mm] n\varepsilon\IN [/mm] einen Grenzwert hat, und bestimme diesen ggf. |
Hallo zusammen,
komme mit dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Laut Maple soll der Grenzwert [mm]\bruch{1}{4} [/mm] sein. Durch erweitern und Anwenden der 3. binomischen Formel sieht die Aufgabe jetzt bei mir so aus:
[mm]a_n=\bruch{n^2}{(\wurzel{n}*\wurzel[4]{n^2+n}+n)*(\wurzel{n^2+n}+n)}[/mm]
Hab dann Zähler und Nenner noch mit [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] malgenommen, so das schon zumindest im Zähler nur noch eine 1 steht. Wie muss ich weitermachen?
Schon einmal danke im Vorraus für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Man untersuche, ob die Folge [mm](a_n)_{n\varepsilon\IN}[/mm] mit
> [mm]a_n=\wurzel{n}*(\wurzel[4]{n^2+n}-\wurzel{n})[/mm] für
> [mm]n\varepsilon\IN[/mm] einen Grenzwert hat, und bestimme diesen
> ggf.
> komme mit dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Laut Maple
> soll der Grenzwert [mm]\bruch{1}{4}[/mm] sein. Durch erweitern und
> Anwenden der 3. binomischen Formel sieht die Aufgabe
> jetzt bei mir so aus:
>
> [mm]a_n=\bruch{n^2}{(\wurzel{n}*\wurzel[4]{n^2+n}+n)*(\wurzel{n^2+n}+n)}[/mm]
> Hab dann Zähler und Nenner noch mit [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]
> malgenommen, so das schon zumindest im Zähler nur noch eine
> 1 steht. Wie muss ich weitermachen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es ist bisher alles im grünen Bereich, Du mußt bloß weiterrechnen:
[mm] a_n=\bruch{n^2}{(\wurzel{n}*\wurzel[4]{n^2+n}+n)*(\wurzel{n^2+n}+n)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\bruch{1}{n}(\wurzel{n}*\wurzel[4]{n^2+n}+n)*\bruch{1}{n}(\wurzel{n^2+n}+n)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(\wurzel{\bruch{1}{n}}*\wurzel[4]{n^2+n}+1)*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel[4]{1+\bruch{1}{n}}+1)*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)}
[/mm]
Und nun den Grenzwert...
Gruß v. Angela
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