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| Aufgabe | Geben Sie für die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] mit [mm] a_{1}=0 [/mm] und
[mm] a_{n}=\wurzel{(\bruch{\bruch{1}{2}+(-1)^{n}}{2n^{2}+1})^{2} + (\bruch{n-2}{n^{2}-1})^{2}} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2 den Grenzwert a an, und bestimmen sie zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] N(\varepsilon) \in \IN [/mm] mit [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge N{\varepsilon} [/mm] |
Hallo allerseits,
Konvergenz zu zeigen finde ich noch ziemlich schwierig. Bei manchen Folgen ist es gar kein Problem, aber hier weiß ich nicht wie ich beginnen soll.
Mit dem Rechenregeln kann ich hier nichts Anfangen, weil ich zwar zeigen kann, das der zweite Therm unter der Wurzel gegen 0 geht, aber beim ersten stört [mm] (-1)^{n}. [/mm] (Mit Rechenregeln meine ich, dass wenn ich wüsste das beide quadratischen Therme konergieren, ich den Limes aufteilen könnte, und mir die Geschichte so vereinfache.)
Das Cauchykriterium bringt mir auch nichts, da ich aus der Voraussetzung schon weiß, da das die Folge konvergiert.
Ich muss wohl also den Grenzwert durch Abschätzen rausbekommen.
Wenn ich die Therme unter der Wurzel zusammen fasse, fällt aber nichts raus, und ich sehe keine passende Möglichkeit zum abschätzen.
Es wäre toll wenn ihr mit bei der Aufgabe helfen könnt!
Viele Grüße,
Sara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Sa 02.12.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Mit dem Rechenregeln kann ich hier nichts Anfangen, weil
> ich zwar zeigen kann, das der zweite Therm unter der Wurzel
> gegen 0 geht, aber beim ersten stört [mm](-1)^{n}.[/mm]
Also konzentrieren wir uns dann auf diese Folge:
[mm] \left(\bruch{\bruch{1}{2}+(-1)^{n}}{2n^{2}+1}\right)^{2}.
[/mm]
Die kann man in 2 Teilfolgen zerlegen:
[mm] \left(\bruch{\bruch{1}{2}-1}{2n_{ug}^{2}+1}\right)^{2} [/mm] für ungerade n und [mm] \left(\bruch{\bruch{1}{2}+1}{2n_{g}^{2}+1}\right)^{2} [/mm] für gerade n. Beide konvergieren gegen Null, jede andere Teilfolge von der ursprünglichen Folge, wird ihre Glieder in einer der beiden Folgen (n gerade, oder n ungerade) haben, wird also auch gegen konvergieren. Somit konviergiert jede TF gegen 0, also ist der Grenzwert auch 0.
Gruß,
dormant
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Danke! An Teilfolgen hab ich gar nicht gedacht.
Ist es richtig, wenn
[mm] c_{n}=\wurzel{a_{n}+b_{n}} [/mm] und [mm] a_{n},b_{n} [/mm] konvergierende Folgen, dass ich so
(lim [mm] c_{n})^{2}=lim a_{n}+lim b_{n}
[/mm]
den Limes von [mm] c_{n} [/mm] ausrechnen darf?
Vielen Dank, und viele Grüße,
Sara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sara!
> (lim [mm]c_{n})^{2}=lim a_{n}+lim b_{n}[/mm]
Achtung: auf der rechten Seite muss Du natürlich draus machen:
$... \ = \ [mm] \left( \ \limes a_n+\limes b_n \ \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \limes a_n \ \right)^2+2*\limes a_n*\limes b_n+\left( \ \limes b_n \ \right)^2 [/mm] \ =\ ...$
Aber grundsätzlich darfst Du bei der Existenz der Einzelgrenzwerte (also [mm] $\left|\limes a_n\right| [/mm] \ < \ [mm] \infty$ [/mm] ) den Gesamtgrenzwert durch Addition, Multiplikation etc. zusammenfassen und berechnen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Sa 02.12.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Danke, alle Fragen beantwortet!
Ihr seid spitze!
Viele Grüße, Sara
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