Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Fr 13.01.2006 | | Autor: | ado |
| Aufgabe | Wie groß muss [mm]n[/mm] werden, damit gilt [mm]| g - a_{n} | < \varepsilon = 10^{-3}[/mm]
[mm]a_{n} = \bruch{3n^{2} - 1}{n^{2} + 1}[/mm] |
Hallöchen!
Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.
Bei der Frage komme ich leider ins hängen:
[mm]a_{n} = \bruch{3n^{2} - 1}{n^{2} + 1}[/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{3n^{2}}{n^{2} + 1} - \bruch{1}{n^{2} + 1}[/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{3}{1} - \bruch{1}{n^{2} + 1}[/mm] für große n wird das +1 irrelevant.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} = 3[/mm]
[mm] 3 - \bruch{3n^{2} - 1}{n^{2} + 1} < 10^{-3}[/mm]
[mm]\Rightarrow 3 - 10^{-3} < \bruch{3n^{2} - 1}{n^{2} + 1}[/mm]
[mm]\Rightarrow 3 -10^{-3} < 3 - \bruch{1}{n^{2} + 1}[/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{1}{10^{3}} > \bruch{1}{n^{2} + 1}[/mm]
weiter weiß ich leider nicht..
mfg, ado
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ado!
Dein ermittelter Grenzwert stimmt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , aber die Darstellung / Argumentation ist etwas unglücklich.
Besser: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n^2-1}{n^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2*\left(3-\bruch{1}{n^2}\right)}{n^2*\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3-\bruch{1}{n^2}}{1+\bruch{1}{n^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3-0}{1+0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{1} [/mm] \ = \ 3$
Verwende bei der anschließenden [mm] $\varepsilon$-Berechnung [/mm] (ich würde es auch erst für ein allgemeines [mm] $\varepsilon$ [/mm] berechnen):
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3n^2-1}{n^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3n^2+3-4}{n^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3*\left(n^2+1\right)}{n^2+1}-\bruch{4}{n^2+1} [/mm] \ = \ [mm] 3-\bruch{4}{n^2+1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\left| \ g-a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ 3-\bruch{3n^2-1}{n^2+1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ 3-\left(3-\bruch{4}{n^2+1}\right) \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ 3-3+\bruch{4}{n^2+1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{4}{n^2+1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{n^2+1} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Nun diese Gleichung [mm] $\bruch{4}{n^2+1} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] mit [mm] $\bruch{n^2+1}{\varepsilon}$ [/mm] multiplizieren und weiter nach $n_$ auflösen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 13.01.2006 | | Autor: | ado |
Hallo Zeus !
[mm]\bruch{4}{n^2+1} < \varepsilon[/mm] mit [mm]\bruch{n^2+1}{\varepsilon}[/mm] multiplizieren.
ich will nicht bezweiffeln, dass das richtig ist, nur würde ich gerne das "WIE" verstehen und vor allem das "WIE komme ich darauf !?"
mfg, ado
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ado!
Letztendlich wollen wir doch die Form $n \ > \ ...$ haben bzw. soweit umstellen. Da bisher $n_$ im Nenner des Bruches steht, müssen wir die Ungleichung mit diesem Nenner multiplizieren.
Dabei müssen wir darauf achten, ob wir mit einem negativen Wert/Term multiplizieren, da sich dann das Ungleichheitszeichen umdreht.
Wegen [mm] $n^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ , gilt: [mm] $n^2+1 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0+1 \ = \ 1 \ > \ 0$
[mm] $\bruch{4}{n^2+1} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ $\left| \ *\left(n^2+1\right) >0$
$4 \ \blue{<} \ \varepsilon*\left(n^2+1\right)$ $\left| \ : \ \varepsilon>0$ (gemäß Definition)
[blue][i]Edit: Tippfehler beim Ungleichheitszeichen korrigiert. Loddar[/i][/blue]
$\bruch{4}{\varepsilon} \ < \ n^2+1$
Schaffst Du den Rest nun selber?
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Fr 13.01.2006 | | Autor: | ado |
Hallo Zeus!
Ich fürchte, ich habe kein Mathematiker-hirn.
Ich scheitere bereits in der ersten Zeile.
Ich erkenne die Logik leider nicht im Geringsten. :(
[mm]n^{2}+1 \ge 0+1 = 1 > 0[/mm]
Warum "> 0" mit-multipliziert wird, wie auch immer das geht, bleibt mir auch ein Rätsel.
[mm]\bruch{4}{n^2+1} < \varepsilon[/mm] [mm]\left| \* (n^{2}+1) >0 [/mm]
naja und an dieser Stelle bin ich schon völlig aus dem Konzept..
[mm]4 \ > \ \varepsilon*\left(n^2+1\right)[/mm] [mm]\left| : \varepsilon > 0 [/mm] (gemäß Definition)
*seufz* :( ado
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ado!
Zunächst einmal hatte ich oben einen Tippfehler eingebaut, den ich inzwischen korrigiert habe.
> Ich erkenne die Logik leider nicht im Geringsten. :(
> [mm]n^{2}+1 \ge 0+1 = 1 > 0[/mm]
In Worten: eine quadrierte Zahl ist (in [mm] $\IR$) [/mm] immer positiv, mindestens jedoch $0_$ . Damit ist eine quadrierte Zahl vergrößert um $1_$ auch immer mindestens $1_$ und damit auf jeden Fall positiv.
> Warum "> 0" mit-multipliziert wird, wie auch immer das
> geht, bleibt mir auch ein Rätsel.
Nein, das war/ist nur eine verkürzte Schreibweise meinerseits, dass ich mit [mm] $\left(n^2+1\right)$ [/mm] multipliziere. Dieses [mm] $\left(n^2+1\right)$ [/mm] ist auch $> \ 0$ (also positiv).
Man kann nicht mit einem Ungleichheitszeichen multiplizieren.
> naja und an dieser Stelle bin ich schon völlig aus dem
> Konzept..
> [mm]4 \ > \ \varepsilon*\left(n^2+1\right)[/mm] [mm]\left| : \varepsilon > 0[/mm] (gemäß Definition)
Wie oben: ich teile durch [mm] $\varepsilon$ [/mm] . Dieses ist gemäß der Definition (siehe Definition des Grenzwertes) immer größer als $0_$ [mm] ($\varepsilon>0$) [/mm] . Daher brauchen wir das Ungleichheitszeichen auch nicht umkehren.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Fr 13.01.2006 | | Autor: | ado |
Aha-Effekt hat eingesetzt!
Firma dankt :)
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