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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Sa 13.02.2016 | | Autor: | onooosch |
| Aufgabe | | [mm] a_{n}:= \left( 1-\bruch{i*\pi}{3n} \right)^{3n} [/mm] |
Hallo!
Danke für die Hilfe!
Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch!
Mein Ansatz sieht so aus:
[mm]
e^{3n*ln\left(1-\bruch{i*\pi}{3n}\right)} = e^{3n\left(ln\left|1-\bruch{i*\pi}{3n}\right|+i*arg\left(1-\bruch{i*\pi}{3n}\right)\right)}
[/mm]
da im Betrag für unendlich große n eine 1 steht, ist der ln von 1=0.
wenn ich das i rausziehe, habe ich folgenden Ausdruck:
[mm]
e^{3ni\left(arg\left(1-\bruch{i*\pi}{3n}\right)\right)}
[/mm]
wenn ich jetzt bei arg das n gegen unendlich laufen lasse, dann kommt bei arg(1) 0 raus. und somit steht da
[mm]
e^{0}
[/mm]
somit kommt als Grenzwert 1 raus.
WolframAlpha sagt aber -1.
bin für jede Hilfe dankbar!
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woher weißt du denn dass (-i)/n irgendwann 0 wird?
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auf welche Stelle beziehst du dich? Verstehe die Frage nicht ganz.
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Naja, du machst arg(1)
das heißt ja, du setzt voraus das i geteilt durch n, für groß genuge n irgendwann 0 wird (pi ist eh ne normale Zahl, d.h. die wird ganz sicher gen 0 wenn man die durch was großes teilt, das heißt intressiert uns nich)
also woher weißt du das i/n=0?
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Hiho,
es ist |i|=1 uns damit $0 [mm] \le |\bruch{i}{n}| \le \bruch{1}{n} [/mm] $
Grenzwertbildung liefert das Gewünschte
Gruß,
Gono
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Hiho,
du kannst doch nich die Klammer gesondert betrachten wenn davor noch ein n steht. Nach deiner Theorie wäre ja auch [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] 1 = 0$ denn [mm] $1=n\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] geht gegen Null also steht da ja Null
Aber zur Aufgabe: Es ist [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] (1+ [mm] \frac{z}{n})^n [/mm] = [mm] e^z$ [/mm] für komplexe z.
Gruß,
Gono
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[mm] \left( 1-\bruch{i*\pi}{3n} \right)^{3n}
[/mm]
Setze [mm] m=\bruch{3n*i}{\pi} \gdw 3n=\bruch{\pi m}{i} \Rightarrow
[/mm]
[mm] \left( 1-\bruch{i*\pi}{3n} \right)^{3n}=\left( 1-\bruch{i*\pi i}{\pi m} \right)^{\bruch{\pi m}{i}}=\left( 1+\bruch{1}{m} \right)^{m\bruch{\pi}{i}}\mapsto e^{\bruch{\pi}{i}}=e^{-\pi i}=-1
[/mm]
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