Grenzwert der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Do 29.12.2005 | | Autor: | melb |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der Folge ( [mm] x_{k})_{k\in\IN}:
[/mm]
[mm] x_{k}=k-\wurzel{(k-1)(k-2)} [/mm] |
Also meine Frage: Wie mache ich das ?
Ich habe versucht [mm] \wurzel{k-1} [/mm] z.B als [mm] \wurzel{k} [/mm] aufzufassen, was aber nicht geht: da dann lim (k) - lim(k) =0 wäre.
Der Grenzwert ist aber 1,5. Ich habe bei der Limesbildung von Wurzeln im allg. große schwierigkeiten.
Was wäre nun ein möglicher Ansatz für diese Aufgabe?
Danke, Melanie
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Hallo Melanie,
> Berechnen Sie den Grenzwert der Folge
>
>
> [mm]\left(x_{k}\right)_{k\in\IN}:[/mm]
>
>
> [mm]x_{k}= k - \wurzel{(k-1)(k-2)}[/mm]
Ich würde diesen Ausdruck als einen Bruch betrachten:
[mm]\frac{k-\sqrt{(k-1)(k-2)}}{1}[/mm]
und Brüche kann man ja erweitern! 
Welche Erweiterung wäre den hier sinnvoll? Das Minus erinnert einen doch an die 3te binomische Formel, oder? Dann erhalten wir nämlich:
[mm]\frac{\left(k - \sqrt{(k-1)(k-2)}\right)\left(k + \sqrt{(k-1)(k-2)}\right)}{k + \sqrt{(k-1)(k-2)}}[/mm]
Gehe nun folgendermaßen vor:
1.) Multipliziere den Zähler aus, und fasse zusammen. [Du erhälst einen kurzen Term.]
2.) Klammere im Zähler und im Nenner das [mm]k[/mm] aus! Mit anderen Worten: Kürze deinen Bruch durch [mm]k[/mm].
3.) Es gilt: [mm]a = \sqrt{a^2}[/mm] und [mm]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a}{b}}[/mm].
4.) Vereinfache den Bruch in der Wurzel.
5.) Bilde den Grenzwert im Zähler und Nenner.
6.) Gehe zur nächsten Aufgabe!
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 29.12.2005 | | Autor: | melb |
Schade auf das Erweitern komme ich leider nie.
Also : nach dem kürzen
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{3-\bruch{2}{k}}{1+\bruch{\wurzel{(k-1)(k-2}}{k}}
[/mm]
Im Zähler ist der Limes 3, aber der Nenner ist mir nicht klar, denn der hat den Limes 1, daraus folgt das der Limes der gesamten folge 3 wäre. Was doch aber nicht stimmt.
Was mache ich bloss falsch, kann ich nicht mehr rechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Do 29.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo melb!
Mir scheint, Du hast im Nenner falsch aus der Wurzel den Wert [mm] $k^2$ [/mm] ausgeklammert:
[mm] $\wurzel{(k-1)*(k-2)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{k^2-3k+2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{k^2*\left(1-\bruch{3}{k}+\bruch{2}{k^2}\right) \ } [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{k^2}*\wurzel{1-\bruch{3}{k}+\bruch{2}{k^2}} [/mm] \ = \ [mm] k*\wurzel{1-\bruch{3}{k}+\bruch{2}{k^2}}$
[/mm]
Nun klar(er)? Welches Ergebnis erhältst Du nun?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Do 29.12.2005 | | Autor: | melb |
^^ ja nun komme ich natürlich auf 2 und die Gesamtfolge hat nun den Grenzwert 3/2 so wie das auch sein muss.
Ich hatte das [mm] k^{2} [/mm] leider gar nicht aus der Wurzel rausgeholt, geschweige denn ausgeklammert.
Ich hatte einfach [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{k-1}}{k} [/mm] und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{k-2}}{k} [/mm] betrachtet und das sind für mich Nullfolgen, was aber gar nicht stimmte, wie ich festellen musste ,wenn ich mal nur vernüftigt umgestellt hätte ^^ und rechenregeln beachtet hätte. Dann hätte ich gesehen, das auch diese zwei Grenzwert gegen 1 laufen und nicht gegen null.
Ich danke euch auf jedenfall...mit dieser aufgabe quäle ich mich schon seit ein paar stunden...ich werde mir mal schnell neue folgen mit wurzel suchen und üben, sofern ich welche finde.
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Diese beiden Folgen sind auch wirklich Nullfolgen, schließlich ist der Zählergrad jeweils echt kleiner als der Nennergrad!
