Grenzwert bestimmen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Di 04.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
ich habe gestern hier (gegen Ende des Posts) einen Grenzwert behauptet und kann ihn doch nicht selbst bestimmen. :-(
Seitdem habe ich ein bisschen herumgebastelt und die Folge verändert, so dass man die lästige Fakultät vorerst loswird. So also:
Gegeben seien [mm] b_1=x [/mm] und [mm] b_2=y,\ [/mm] $\ \ [mm] x,y\in\IR$.
[/mm]
Für [mm] n\ge3 [/mm] sei [mm] b_n=\bruch{1}{n}((n-1)b_{n-1}+b_{n-2}).
[/mm]
Die Folge konvergiert sehr schnell, aber wie zeigt mans?
Der Grenzwert ist [mm] \lim_{n\to\infty}b_n=x+\bruch{2(y-x)}{e}
[/mm]
Auch hier: warum?
(Kleiner Hinweis:
mit [mm] b_1=0, b_2=\bruch{1}{2} [/mm] konvergiert die Folge gegen [mm] \bruch{1}{e}. [/mm] Hübsch.)
Und schließlich wäre ich noch an der etwas allgemeineren Folge
[mm] c_n=\bruch{1}{n}((n-t)c_{n-1}+tc_{n-2}) [/mm] mit [mm] t\in\IN [/mm] oder gar [mm] t\in\IR
[/mm]
interessiert. Die konvergiert offenbar auch, aber wogegen?
Aber das könnte ja auch noch später einmal eine eigene Frage werden.
Ja, ich weiß, eigene Ansätze und die Forenregeln und so...
Wie ging das nochmal mit den rekursiven Folgen? 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Di 04.09.2012 | | Autor: | reverend |
Guten Abend!
Puuh, da bin ich aber froh, dass es offenbar nicht nur eine momentane Blockade war, wegen der ich meine eigene Aufgabe nicht lösen konnte.
Heute hatte ich noch gar keine Zeit, weiter daran zu arbeiten.
Deswegen nur mal eine Rückfrage zu dem eingangs (kaum sichtbar) zitierten Post meinerseits.
Zitat:
> Interessant ist nun, dass für $ [mm] n\to\infty [/mm] $
> der Quotient $ [mm] \bruch{a_n}{n!} [/mm] $ gegen $ [mm] \bruch{1}{e} [/mm] $ strebt.
Ich finde nichts dazu, nehme aber stark an, dass das ein bekanntes Faktum ist. Weiß jemand etwas darüber?
Nehmen wir mal eine plausible Verpackung dazu:
Wegen eines drohenden Amoklaufs werden die Handys aller 874 Schüler einer Schule konfisziert. Gegen 12:55h löst sich der Fall auf andere Weise; alle Mobiltelefone können also zurückgegeben werden. Der Einsatzleiter entschließt sich, zum Unterrichtsschluss um 13:00h einfach jedem Schüler am einzigen Schulausgang irgendein Handy in die Hand zu drücken und darauf zu vertrauen, dass durch Tausch alle Geräte wieder an ihren Besitzer gelangen. (Wieder so ein Idiot, der extra für eine mathematische Aufgabe konstruiert wird. Armer Kerl.)
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Schüler sein eigenes Handy am Ausgang wiederbekommt? (Mühsam...)
b) Was ist der Grenzwert der Wahrscheinlichkeit, wenn die Schule viel mehr Schüler hat? (also potentiell unendlich, auch eine typisch unsinnige Annahme einer Aufgabe)
Hm. Wenn jemand eine nettere Verpackung hat, lese wahrscheinlich nicht nur ich das gern. 
Ansonsten schon mal Dank an alle, die sich auch noch Gedanken über die mathematischen Implikationen dieser Aufgabe machen.
Übrigens auch schön: wie müsste man anhand dieser Folge eine andere konstruieren, damit der Grenzwert nicht [mm] $e^{-1}$, [/mm] sondern $e$ wäre?
Herzliche Grüße
reverend
PS: Manchmal ist es nicht schön, die Mathematik nur als Hobby zu betreiben. Heute hätte ich lieber hieran weitergearbeitet, als an dem woran ich halt arbeiten musste. Aber das wäre mir in einem mathematischen Job natürlich auch nicht anders gegangen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Di 04.09.2012 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend!
>
> Puuh, da bin ich aber froh, dass es offenbar nicht nur eine
> momentane Blockade war, wegen der ich meine eigene Aufgabe
> nicht lösen konnte.
>
> Heute hatte ich noch gar keine Zeit, weiter daran zu
> arbeiten.
> Deswegen nur mal eine Rückfrage zu dem eingangs (kaum
> sichtbar) zitierten Post
> meinerseits.
>
> Zitat:
> > Interessant ist nun, dass für [mm]n\to\infty[/mm]
> > der Quotient [mm]\bruch{a_n}{n!}[/mm] gegen [mm]\bruch{1}{e}[/mm] strebt.
>
> Ich finde nichts dazu, nehme aber stark an, dass das ein
> bekanntes Faktum ist. Weiß jemand etwas darüber?
>
> Nehmen wir mal eine plausible Verpackung dazu:
>
> Wegen eines drohenden Amoklaufs werden die Handys aller 874
> Schüler einer Schule konfisziert. Gegen 12:55h löst sich
> der Fall auf andere Weise; alle Mobiltelefone können also
> zurückgegeben werden. Der Einsatzleiter entschließt sich,
> zum Unterrichtsschluss um 13:00h einfach jedem Schüler am
> einzigen Schulausgang irgendein Handy in die Hand zu
> drücken und darauf zu vertrauen, dass durch Tausch alle
> Geräte wieder an ihren Besitzer gelangen. (Wieder so ein
> Idiot, der extra für eine mathematische Aufgabe
> konstruiert wird. Armer Kerl.)
>
> a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Schüler
> sein eigenes Handy am Ausgang wiederbekommt? (Mühsam...)
> b) Was ist der Grenzwert der Wahrscheinlichkeit, wenn die
> Schule viel mehr Schüler hat? (also potentiell unendlich,
> auch eine typisch unsinnige Annahme einer Aufgabe)
>
> Hm. Wenn jemand eine nettere Verpackung hat, lese
> wahrscheinlich nicht nur ich das gern.
>
> Ansonsten schon mal Dank an alle, die sich auch noch
> Gedanken über die mathematischen Implikationen dieser
> Aufgabe machen.
>
> Übrigens auch schön: wie müsste man anhand dieser Folge
> eine andere konstruieren, damit der Grenzwert nicht [mm]e^{-1}[/mm],
> sondern [mm]e[/mm] wäre?
Gib jedem ein Reziprokhandy
Gruß Abakus
>
> Herzliche Grüße
> reverend
>
> PS: Manchmal ist es nicht schön, die Mathematik nur als
> Hobby zu betreiben. Heute hätte ich lieber hieran
> weitergearbeitet, als an dem woran ich halt arbeiten
> musste. Aber das wäre mir in einem mathematischen Job
> natürlich auch nicht anders gegangen.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Di 04.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo abakus,
> > Übrigens auch schön: wie müsste man anhand dieser Folge
> > eine andere konstruieren, damit der Grenzwert nicht [mm]e^{-1}[/mm],
> > sondern [mm]e[/mm] wäre?
>
> Gib jedem ein Reziprokhandy
Die sind doch nur deswegen nicht auf dem Markt, weil niemand festgelegt hat, wieviele Dezimalstellen von [mm] \bruch{1}{Telefonnummer} [/mm] man eigentlich eingeben muss und vor allem, wie das dann mit der nur optionalen Länderkennung eigentlich funktioniert. Vielleicht sollten wir dazu mal mit einer DIN anfangen, dann folgt die EN auch bald. Und eine Patentregistrierung in Alaska sollte doch auch irgendwie möglich sein.
Liebe Grüße
reverend
PS: Endlich mal ein konstruktiver Beitrag.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Di 04.09.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> > > Übrigens auch schön: wie müsste man anhand dieser Folge
> > > eine andere konstruieren, damit der Grenzwert nicht [mm]e^{-1}[/mm],
> > > sondern [mm]e[/mm] wäre?
> >
> > Gib jedem ein Reziprokhandy
>
> Die sind doch nur deswegen nicht auf dem Markt, weil
> niemand festgelegt hat, wieviele Dezimalstellen von
> [mm]\bruch{1}{Telefonnummer}[/mm] man eigentlich eingeben muss und
Na, dafür bringt Samsung ja eine Version auf Kettenbruchbasis auf den Markt.
Apple hat schon geklagt.
Gruß Abakus
> vor allem, wie das dann mit der nur optionalen
> Länderkennung eigentlich funktioniert. Vielleicht sollten
> wir dazu mal mit einer DIN anfangen, dann folgt die EN auch
> bald. Und eine Patentregistrierung in Alaska sollte doch
> auch irgendwie möglich sein.
>
> Liebe Grüße
> reverend
>
> PS: Endlich mal ein konstruktiver Beitrag.
Wenn meine Frau nur auch so einsichtig wäre...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Guten Abend!
>
> Puuh, da bin ich aber froh, dass es offenbar nicht nur eine
> momentane Blockade war, wegen der ich meine eigene Aufgabe
> nicht lösen konnte.
>
> Heute hatte ich noch gar keine Zeit, weiter daran zu
> arbeiten.
> Deswegen nur mal eine Rückfrage zu dem eingangs (kaum
> sichtbar) zitierten Post
> meinerseits.
>
> Zitat:
> > Interessant ist nun, dass für [mm]n\to\infty[/mm]
> > der Quotient [mm]\bruch{a_n}{n!}[/mm] gegen [mm]\bruch{1}{e}[/mm] strebt.
>
> Ich finde nichts dazu, nehme aber stark an, dass das ein
> bekanntes Faktum ist. Weiß jemand etwas darüber?
das nicht. Aber wir wissen doch, dass
[mm] $$1/e=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$$
[/mm]
Deswegen wäre das erste, was ich versuchen würde, mir mal
[mm] $$a_n/n!-\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$$
[/mm]
anzugucken. Ob das zielführend ist, weiß ich nicht.
P.S.
Kennst Du den (ich hoffe mal) Standardbeweis, dass [mm] $\sum_{k=0}^\infty z^k/k!=\lim_{n \to \infty}(1+z/n)^n\;\;\;(=e^z)$?
[/mm]
Mir kommt's so vor, als wenn die "Tricks" dort hier auch einsetzbar sein
könnten. Aber das nur rein intuitiv!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Di 04.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> > Zitat:
> > > Interessant ist nun, dass für [mm]n\to\infty[/mm]
> > > der Quotient [mm]\bruch{a_n}{n!}[/mm] gegen [mm]\bruch{1}{e}[/mm] strebt.
> >
> > Ich finde nichts dazu, nehme aber stark an, dass das ein
> > bekanntes Faktum ist. Weiß jemand etwas darüber?
>
> das nicht. Aber wir wissen doch, dass
> [mm]1/e=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}[/mm]
>
> Deswegen wäre das erste, was ich versuchen würde, mir
> mal
> [mm]a_n/n!-\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}[/mm]
> anzugucken. Ob das
> zielführend ist, weiß ich nicht.
Daran habe ich auch schon gedacht, aber so richtig geklickt hat da noch nichts.
> P.S.
> Kennst Du den (ich hoffe mal) Standardbeweis, dass
> [mm]\sum_{k=0}^\infty z^k/k!=\lim_{n \to \infty}(1+z/n)^n\;\;\;(=e^z)[/mm]?
Ich kenne einen. Keine Ahnung, ob das der Standardbeweis ist. Im Moment finde ich ihn auch nicht.
> Mir kommt's so vor, als wenn die "Tricks" dort hier auch
> einsetzbar sein
> könnten. Aber das nur rein intuitiv!
Klingt erstmal gut. Ich denke mal drüber nach. Sobald ich mit dem Telefonieren fertig bin... Den Teil mit dem eingeklammerten Gleichheitszeichen habe ich allerdings schon mehrfach durchgekaut, ganz ergebnislos.
Danke!
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> > > Zitat:
> > > > Interessant ist nun, dass für [mm]n\to\infty[/mm]
> > > > der Quotient [mm]\bruch{a_n}{n!}[/mm] gegen [mm]\bruch{1}{e}[/mm] strebt.
> > >
> > > Ich finde nichts dazu, nehme aber stark an, dass das ein
> > > bekanntes Faktum ist. Weiß jemand etwas darüber?
> >
> > das nicht. Aber wir wissen doch, dass
> > [mm]1/e=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}[/mm]
> >
> > Deswegen wäre das erste, was ich versuchen würde, mir
> > mal
> > [mm]a_n/n!-\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}[/mm]
> > anzugucken.
> Ob das
> > zielführend ist, weiß ich nicht.
>
> Daran habe ich auch schon gedacht, aber so richtig geklickt
> hat da noch nichts.
>
> > P.S.
> > Kennst Du den (ich hoffe mal) Standardbeweis, dass
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty z^k/k!=\lim_{n \to \infty}(1+z/n)^n\;\;\;(=e^z)[/mm]?
>
> Ich kenne einen. Keine Ahnung, ob das der Standardbeweis
> ist. Im Moment finde ich ihn auch nicht.
![[]](/images/popup.gif) Satz 7.4
Ich dachte an "die Abschätzung der mittleren Summe". Vielleicht geht
sowas bei Dir wenigstens analog. Aber nachgedacht habe ich nicht wirklich
drüber!
> > Mir kommt's so vor, als wenn die "Tricks" dort hier auch
> > einsetzbar sein
> > könnten. Aber das nur rein intuitiv!
>
> Klingt erstmal gut. Ich denke mal drüber nach. Sobald ich
> mit dem Telefonieren fertig bin... Den Teil mit dem
> eingeklammerten Gleichheitszeichen habe ich allerdings
> schon mehrfach durchgekaut, ganz ergebnislos.
Was meinst Du? [mm] $=e^z$? [/mm] Naja, irgendwie muss man doch die
Exponentialfunktion eingeführt haben. Je nachdem, wie man das
gemacht hat (in obigem Skript eben durch die Reihendarstellung
mit Nachweis, dass sie für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] konvergiert) ist man direkt
fertig.
Deswegen: Wie hast Du die Exponentialfunktion "kennengelernt"?
Erstmal nur als nichttriviale diff'bare Funktion [mm] $\IR \to \IR\,,$ [/mm] deren
Ableitung mit der Funktion identisch sein soll?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Di 04.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
ich weiß noch nicht, ob mich das weiter bringt, aber manches ist neu oder war zumindest verschüttet...
> > > Kennst Du den (ich hoffe mal) Standardbeweis, dass
> > > [mm]\sum_{k=0}^\infty z^k/k!=\lim_{n \to \infty}(1+z/n)^n\;\;\;(=e^z)[/mm]?
>
> >
> > Ich kenne einen. Keine Ahnung, ob das der Standardbeweis
> > ist. Im Moment finde ich ihn auch nicht.
>
> Satz 7.4
Hm. Kommt mir unbekannt vor. Ich erinnere mich eher an etwas Reelles, denke ich, weiß aber nicht so recht, was. Insofern ist das schon ein guter Impuls.
> Ich dachte an "die Abschätzung der mittleren Summe".
> Vielleicht geht
> sowas bei Dir wenigstens analog. Aber nachgedacht habe ich
> nicht wirklich
> drüber!
Ich auch noch nicht.
> > > Mir kommt's so vor, als wenn die "Tricks" dort hier auch
> > > einsetzbar sein
> > > könnten. Aber das nur rein intuitiv!
> >
> > Klingt erstmal gut. Ich denke mal drüber nach. Sobald ich
> > mit dem Telefonieren fertig bin... Den Teil mit dem
> > eingeklammerten Gleichheitszeichen habe ich allerdings
> > schon mehrfach durchgekaut, ganz ergebnislos.
>
> Was meinst Du? [mm]=e^z[/mm]? Naja, irgendwie muss man doch die
> Exponentialfunktion eingeführt haben. Je nachdem, wie man
> das gemacht hat (in obigem Skript eben durch die
> Reihendarstellung mit Nachweis, dass sie für alle [mm]z \in \IC[/mm] konvergiert)
> ist man direkt fertig.
Womit? Meine Folge ist damit noch nicht erklärt.
> Deswegen: Wie hast Du die Exponentialfunktion
> "kennengelernt"?
> Erstmal nur als nichttriviale diff'bare Funktion [mm]\IR \to \IR\,,[/mm]
> deren
> Ableitung mit der Funktion identisch sein soll?
Nee, eher über Grenzwerte erst von [mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm] und dann [mm] $\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n$.
[/mm]
Wenn ich wüsste, in welchem Umzugskarton die relevanten Skripte sind, würde ich ja suchen, aber das ist noch ohne Aussicht auf Erfolg.
Ob das verzeihlich ist, weiß ich nicht. Das letzte Mal bin ich vor sechs Jahren umgezogen...
Also erstmal danke für den Tipp!
Liebe Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich weiß noch nicht, ob mich das weiter bringt, aber
> manches ist neu oder war zumindest verschüttet...
>
> > > > Kennst Du den (ich hoffe mal) Standardbeweis, dass
> > > > [mm]\sum_{k=0}^\infty z^k/k!=\lim_{n \to \infty}(1+z/n)^n\;\;\;(=e^z)[/mm]?
>
> >
> > >
> > > Ich kenne einen. Keine Ahnung, ob das der Standardbeweis
> > > ist. Im Moment finde ich ihn auch nicht.
> >
> >
> Satz 7.4
>
> Hm. Kommt mir unbekannt vor. Ich erinnere mich eher an
> etwas Reelles, denke ich, weiß aber nicht so recht, was.
es ist doch [mm] $\IR \subseteq \IC$... [/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Insofern ist das schon ein guter Impuls.
>
> > Ich dachte an "die Abschätzung der mittleren Summe".
> > Vielleicht geht
> > sowas bei Dir wenigstens analog. Aber nachgedacht habe ich
> > nicht wirklich
> > drüber!
>
> Ich auch noch nicht.
Ich hab' nur mal angesetzt und gemerkt, dass die Annahme der
Konvergenz der Folge gegen [mm] $g\,$ [/mm] zu [mm] $g=g\,$ [/mm] führt. Nicht gerade ein
spannendes Ergebnis: Wenn die Folge in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert, dann kommt
jede Zahl aus [mm] $\IR$ [/mm] als Grenzwert in Frage. SUPER!!
> > > > Mir kommt's so vor, als wenn die "Tricks" dort hier auch
> > > > einsetzbar sein
> > > > könnten. Aber das nur rein intuitiv!
> > >
> > > Klingt erstmal gut. Ich denke mal drüber nach. Sobald ich
> > > mit dem Telefonieren fertig bin... Den Teil mit dem
> > > eingeklammerten Gleichheitszeichen habe ich allerdings
> > > schon mehrfach durchgekaut, ganz ergebnislos.
> >
> > Was meinst Du? [mm]=e^z[/mm]? Naja, irgendwie muss man doch die
> > Exponentialfunktion eingeführt haben. Je nachdem, wie man
> > das gemacht hat (in obigem Skript eben durch die
> > Reihendarstellung mit Nachweis, dass sie für alle [mm]z \in \IC[/mm]
> konvergiert)
> > ist man direkt fertig.
>
> Womit? Meine Folge ist damit noch nicht erklärt.
>
> > Deswegen: Wie hast Du die Exponentialfunktion
> > "kennengelernt"?
> > Erstmal nur als nichttriviale diff'bare Funktion [mm]\IR \to \IR\,,[/mm]
> > deren
> > Ableitung mit der Funktion identisch sein soll?
>
> Nee, eher über Grenzwerte erst von
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm] und dann
> [mm]\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n[/mm].
Na dann ist doch alles klar: Der Beweis im Skript zu Satz 7.4 liefert
genau den Zusammenhang zur Reihendarstellung. Natürlich kann man
auch Taylor für sowas herbeirufen... aber bitte nicht reziprok, das ist
dem nämlich nicht so ganz Cauchy mit den reziproken Handys ^^
> Wenn ich wüsste, in welchem Umzugskarton die relevanten
> Skripte sind, würde ich ja suchen, aber das ist noch ohne
> Aussicht auf Erfolg.
> Ob das verzeihlich ist, weiß ich nicht. Das letzte Mal
> bin ich vor sechs Jahren umgezogen...
Ich sag' mal nix und guck' staunend auf fast alle meine nur mal kurz
geöffneten Kartons von meinem Umzug vor knapp 2 Jahren ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Di 04.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> > Hm. Kommt mir unbekannt vor. Ich erinnere mich eher an
> > etwas Reelles, denke ich, weiß aber nicht so recht, was.
>
> es ist doch [mm]\IR \subseteq \IC[/mm]...
Och. Nee, jetzt, oder? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> > > Aber nachgedacht habe ich
> > > nicht wirklich
> > > drüber!
> >
> > Ich auch noch nicht.
>
> Ich hab' nur mal angesetzt und gemerkt, dass die Annahme
> der
> Konvergenz der Folge gegen [mm]g\,[/mm] zu [mm]g=g\,[/mm] führt. Nicht
> gerade ein
> spannendes Ergebnis: Wenn die Folge in [mm]\IR[/mm] konvergiert,
> dann kommt
> jede Zahl aus [mm]\IR[/mm] als Grenzwert in Frage. SUPER!!
Ja, ich kam mir auch sowas von bestätigt vor.
Wenns konvergiert, dann konvergiert es. Echt tautologische Beweisführung. Ganz hervorzüglich. Die Frage ist dann nur: konvergiert es auch, wenn es nicht konvergiert? Dann wäre man ja fertig.
> > > Deswegen: Wie hast Du die Exponentialfunktion
> > > "kennengelernt"?
> > > Erstmal nur als nichttriviale diff'bare Funktion [mm]\IR \to \IR\,,[/mm]
> > > deren
> > > Ableitung mit der Funktion identisch sein soll?
> >
> > Nee, eher über Grenzwerte erst von
> > [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm] und dann
> > [mm]\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n[/mm].
>
> Na dann ist doch alles klar: Der Beweis im Skript zu Satz
> 7.4 liefert
> genau den Zusammenhang zur Reihendarstellung. Natürlich
> kann man
> auch Taylor für sowas herbeirufen... aber bitte nicht
> reziprok, das ist
> dem nämlich nicht so ganz Cauchy mit den reziproken Handys
> ^^
Wie schön. Ich verstehe bisher nur, dass ich meine Handynummer vielleicht nicht veröffentlichen sollte, sondern nur den größten gemeinsamen Taylor. Eine neue RSA-Variante...
> > Wenn ich wüsste, in welchem Umzugskarton die relevanten
> > Skripte sind, würde ich ja suchen, aber das ist noch ohne
> > Aussicht auf Erfolg.
> > Ob das verzeihlich ist, weiß ich nicht. Das letzte Mal
> > bin ich vor sechs Jahren umgezogen...
>
> Ich sag' mal nix und guck' staunend auf fast alle meine nur
> mal kurz
> geöffneten Kartons von meinem Umzug vor knapp 2 Jahren
> ^^
2 Jahre? Das ist doch kein Vergleich. Das ist ein kategorial-substantiell-fulminant-elementarer Unterschied von Zeitaltern, nein: Epochen, oder besser: Ären.
Mir fehlen die Worte. Ich ihnen hoffentlich auch.
Grüüüße,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Di 04.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Wenn doch die Allgemeinheit nur wüsste wie humorvoll Mathematik sein kann :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Di 04.09.2012 | | Autor: | reverend |
> Wenn doch die Allgemeinheit nur wüsste wie humorvoll
> Mathematik sein kann :D
Bloß nicht! Nachher würden die sich alle damit beschäftigen.
Wenn Du das also weiter verrätst, dann, äh, also...
Na gut, ich könnte z.B. kochen.
Und Du müsstest es dann essen.
Noch besser: ich würde die Aufgabe tanzen. Und Du müsstest zusehen.
Ha!
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Wenn doch die Allgemeinheit nur wüsste wie humorvoll
> > Mathematik sein kann :D
>
> Bloß nicht! Nachher würden die sich alle damit
> beschäftigen.
> Wenn Du das also weiter verrätst, dann, äh, also...
> Na gut, ich könnte z.B. kochen.
> Und Du müsstest es dann essen.
>
> Noch besser: ich würde die Aufgabe tanzen. Und Du
> müsstest zusehen.
warste auf 'ner Wal-Dorf-Uni... öhm, Schule?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 05.09.2012 | | Autor: | reverend |
Grmpf,
> > Noch besser: ich würde die Aufgabe tanzen. Und Du
> > müsstest zusehen.
>
> warste auf 'ner Wal-Dorf-Uni... öhm, Schule?
Ist das nicht dieser Salat mit Ananas und Walnuss? Vielleicht ist das aber auch nur etwas für Astorianer.
Ansonsten verbitte ich mir die Unterstellungen. Wüsste ich sonst irgendetwas über Mathemanie?
Naja: weiß ich eigentlich irgendetwas über Mathemagie. Oh. Fipptehler.
ig (irritierte Grüße)
r.ever.end
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > > Hm. Kommt mir unbekannt vor. Ich erinnere mich eher an
> > > etwas Reelles, denke ich, weiß aber nicht so recht, was.
> >
> > es ist doch [mm]\IR \subseteq \IC[/mm]...
>
> Och. Nee, jetzt, oder?
vielleicht sollte ich diese neue Erkenntnis der breiten Öffentlichkeit
zukommen lassen. Ich träumte dieses Wissen jedenfalls! Aber ich geb'
zu: Das wird ganz schön komplex... zählen wir mal ein paar Jahre!
> > > > Aber nachgedacht habe ich
> > > > nicht wirklich
> > > > drüber!
> > >
> > > Ich auch noch nicht.
> >
> > Ich hab' nur mal angesetzt und gemerkt, dass die Annahme
> > der
> > Konvergenz der Folge gegen [mm]g\,[/mm] zu [mm]g=g\,[/mm] führt. Nicht
> > gerade ein
> > spannendes Ergebnis: Wenn die Folge in [mm]\IR[/mm] konvergiert,
> > dann kommt
> > jede Zahl aus [mm]\IR[/mm] als Grenzwert in Frage. SUPER!!
>
> Ja, ich kam mir auch sowas von bestätigt vor.
> Wenns konvergiert, dann konvergiert es.
Das hatte ich doch gar nicht raus. Ich hatte raus: Wenn's konvergiert, dann
ist [mm] $0=0\,.$
[/mm]
> Echt tautologische
> Beweisführung. Ganz hervorzüglich. Die Frage ist dann
> nur: konvergiert es auch, wenn es nicht konvergiert? Dann
> wäre man ja fertig.
Du meinst nun: "Angenommen, es läge Divergenz vor"
und willst dann zu 'nem Widerspruch kommen, dass es dann doch
konvergiere - also 'nen Widerspruchsbeweis führen.
> > > > Deswegen: Wie hast Du die Exponentialfunktion
> > > > "kennengelernt"?
> > > > Erstmal nur als nichttriviale diff'bare Funktion [mm]\IR \to \IR\,,[/mm]
> > > > deren
> > > > Ableitung mit der Funktion identisch sein soll?
> > >
> > > Nee, eher über Grenzwerte erst von
> > > [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm] und dann
> > > [mm]\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n[/mm].
> >
> > Na dann ist doch alles klar: Der Beweis im Skript zu Satz
> > 7.4 liefert
> > genau den Zusammenhang zur Reihendarstellung.
> Natürlich
> > kann man
> > auch Taylor für sowas herbeirufen... aber bitte nicht
> > reziprok, das ist
> > dem nämlich nicht so ganz Cauchy mit den reziproken Handys
> > ^^
>
> Wie schön. Ich verstehe bisher nur, dass ich meine
> Handynummer vielleicht nicht veröffentlichen sollte,
> sondern nur den größten gemeinsamen Taylor. Eine neue
> RSA-Variante...
Sei mal nicht so [mm] $\pi$-ngelig. [/mm] Her mit den Daten. Wozu gibt's denn
Statistiker? Ich reiche die denen weiter...
> > > Wenn ich wüsste, in welchem Umzugskarton die relevanten
> > > Skripte sind, würde ich ja suchen, aber das ist noch ohne
> > > Aussicht auf Erfolg.
> > > Ob das verzeihlich ist, weiß ich nicht. Das letzte
> Mal
> > > bin ich vor sechs Jahren umgezogen...
> >
> > Ich sag' mal nix und guck' staunend auf fast alle meine nur
> > mal kurz
> > geöffneten Kartons von meinem Umzug vor knapp 2 Jahren
> > ^^
>
> 2 Jahre? Das ist doch kein Vergleich. Das ist ein
> kategorial-substantiell-fulminant-elementarer Unterschied
> von Zeitaltern, nein: Epochen, oder besser:
> Ären.
Ich arbeite dran... bin ja noch... ähm, doch schon alt ^^
> Mir fehlen die Worte. Ich ihnen hoffentlich auch.
Sie suchen Dich jedenfalls!!
Gruß,
Marcel
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Alle Folgeglieder sind lineare Ausdrücke in [mm]x,y[/mm]. In
[mm]b_n = \sigma_n x + \tau_n y \, , \ \ n \geq 1[/mm]
hängen [mm]\sigma_n[/mm] und [mm]\tau_n[/mm] also nur von [mm]n[/mm] ab. Wendet man die Rekursionsbeziehung an, so zeigt ein Koeffizientenvergleich:
[mm]\begin{cases} \sigma_1 = 1 & \\ \sigma_2 = 0 & \\ \sigma_n = \frac{n-1}{n} \sigma_{n-1} + \frac{1}{n} \sigma_{n-2} \, , & n > 2 \end{cases} \, , \qquad \begin{cases} \tau_1 = 0 & \\ \tau_2 = 1 & \\ \tau_n = \frac{n-1}{n} \tau_{n-1} + \frac{1}{n} \tau_{n-2} \, , & n > 2 \end{cases}[/mm]
Man kann folgendermaßen umformen:
[mm]\sigma_n = - \frac{1}{n} \left( \sigma_{n-1} - \sigma_{n-2} \right) + \sigma_{n-1} \ \ \Leftrightarrow \ \ \sigma_n - \sigma_{n-1} = - \frac{1}{n} \left( \sigma_{n-1} - \sigma_{n-2} \right)[/mm]
Setzt man also
[mm]\lambda_n = \sigma_n - \sigma_{n-1} \, , \ \ n > 1[/mm]
so folgt:
[mm]\begin{cases} \lambda_2 = -1 & \\ \lambda_n = - \frac{1}{n} \cdot \lambda_{n-1} & , \ n > 2 \end{cases}[/mm]
woraus man iterativ
[mm]\lambda_n = \frac{2 \cdot (-1)^{n-1}}{n!} \, , \ \ n > 1[/mm]
erhält. Mittels [mm]\sigma_n = \sigma_{n-1} + \lambda_n[/mm] folgt daraus durch mehrfache Anwendung
[mm]\sigma_n = 1 - 2 \cdot \left( 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \pm \ldots + \frac{(-1)^n}{n!} \right) \to 1 - \frac{2}{\operatorname{e}} \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty[/mm]
Nach demselben Verfahren zeigt man
[mm]\tau_n = 2 \cdot \left( 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \pm \ldots + \frac{(-1)^n}{n!} \right) \to \frac{2}{\operatorname{e}} \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty[/mm]
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:02 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ein sehr schöner Lösungsweg!
Gruß,
Marcel
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Das Verfahren, das ich vorgeführt habe, funktioniert auch für die [mm]c_n[/mm]. Als Grenzwert erhält man
[mm]c = x + 2 \cdot \frac{1 - t - \operatorname{e}^{-t}}{t^2} \cdot (x-y)[/mm]
wobei wieder [mm]c_1=x[/mm] und [mm]c_2=y[/mm] sei. Die Formel gilt für alle reellen Parameter [mm]t[/mm] (für [mm]t=0[/mm] muß man stetig ergänzen und erhält [mm]c=y[/mm]).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mi 05.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Leopold_Gast,
das ist in der Tat eine geschickte Lösung. Mit der Bestimmung des Grenzwerts hat man ja auch gleich die Konvergenz nachgewiesen.
Bei Gelegenheit erbrüte ich vielleicht noch eine aus der vorliegenden Folge hergeleitete mit dem Ziel e. Mal sehen.
Ganz herzlichen Dank also!
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
reverend
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Ich weiß nicht genau, was du suchst, aber eine Folge mit dem Grenzwert [mm]\operatorname{e}[/mm] kann man jetzt leicht erhalten. Zunächst wählt man in
[mm]c = x + 2 \cdot \frac{1 - t - \operatorname{e}^{-t}}{t^2} \cdot (x-y)[/mm]
für [mm]t=-1[/mm] und für [mm]c=\operatorname{e}[/mm]. Wenn man [mm]x,y[/mm] als rational annimmt, so führt eine Trennung in rationale und irrationale Bestandteile auf das lineare Gleichungssystem
[mm]\text{(1)} \ \ 2x - 2y = -1[/mm]
[mm]\text{(2)} \ \ -5x + 4y = 0[/mm]
Wenn man sich die Sache näher beschaut, stellt sich [mm] c_n [/mm] in diesem Fall allerdings gerade als Partialsumme der bekannten Fakultätenkehrwertreihe für die Eulersche Zahl dar. Also nichts Neues unterm Horizont ...
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