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Wie bestimmt man denn Grenzwerte dieser Art:
[mm] \frac{1-e^{ix}}{x} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
Kommt man evtl mit der Reihendarstellung der e-Funktion weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Fr 11.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Nur so als Idee, was ist mit dem Mittelwertsatz?
[mm] $$\frac{1-e^{ix}}{x}=-\frac{e^0-e^{ix}}{0-x}\stackrel{\text{MWS}}{=}-ie^{i\xi}\text{ mit }\xi\in(0,x)$$
[/mm]
Und damit geht der gesamte Ausdruck für [mm] $x\to0$ [/mm] gegen [mm] $-ie^{i\cdot0}=-i$.
[/mm]
Die Idee mit der Reihendarstellung find ich auch nett, da komm ich auf:
[mm] $$\frac{1-\sum_{k\ge0}\frac{(ix)^k}{k!}}{x}=-i\cdot\sum_{k\ge0}\frac{(ix)^k}{(k+1)!}=-i\text{ für }x=0$$
[/mm]
Die letzte Gleichheit gilt, da die Reihe ja zumindest in ner Umgebung von 0, z.B. (-1,1), gleichmäßig konvergiert, also stetig ist.
Gruß, Rob
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Achtung !
$ [mm] \frac{1-e^{ix}}{x}=-\frac{e^0-e^{ix}}{0-x}\stackrel{\text{MWS}}{=}-ie^{i\xi}\text{ mit }\xi\in(0,x) [/mm] $
Ist x = [mm] 2\pi [/mm] i, so gibt es ein solches [mm] \xi [/mm] nicht !
Also Vorsicht mit dem MWS !!!!!!!
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Mit dem Mittelwertsatz im Komplexen wäre ich vorsichtig !!!
Ich denke so gehts am einfachsten:
$ [mm] \frac{1-e^{ix}}{x} [/mm] $ = (1-cosx)/x + i (sinx)/x ----> i für x--> 0.
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Hallo,
> Mit dem Mittelwertsatz im Komplexen wäre ich vorsichtig
> !!!
>
> Ich denke so gehts am einfachsten:
>
> [mm]\frac{1-e^{ix}}{x}[/mm] = (1-cosx)/x + i (sinx)/x ----> i für
> x--> 0.
Geht das nicht eher gegen -i?
M.E. ist da ne Minusklammer im Zähler [mm] $Z=(1-\cos(x))\red{-}i\sin(x)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Natürlich, Du hast recht!
FRED
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:37 Fr 11.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Da ist noch ein kleiner Vorzeichenfehler, es ist
[mm] $$\frac{1-e^{ix}}{x}=\frac{1-(\cos x+i\sin x)}{x}=\frac{1-cos x}{x}-i\frac{sin x}{x}=-i\text{ für }x\to [/mm] 0$$
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Fr 11.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Nochmal zu dem MWS:
Hast natürlich Recht, den kann ich für [mm] $f:\IR\to\IC$ [/mm] gar nicht anwenden. Du hast die Funktion in Real- und Imaginärteil zerlegt, das sind beides Funktionen von [mm] $\IR\to\IR$, [/mm] und dann erst den MWS benutzt, denn den brauchste ja auch um [mm] $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ [/mm] schreiben zu können.
Ich gebe zu ich bin damit im Komplexen nicht so sehr vertraut (deshalb hab ich ja auch "Idee" geschrieben), also könntest du mir mal erklären warum genau es in diesem Fall halt irgendwie doch funktioniert, also warum komm ich in diesem Fall mit meinem falschen Argument zum richtigen Ergebnis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Fr 11.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wegen x gegen 0 kann man ja [mm] |x|<\pi [/mm] wählen und dann gilt dein MWS
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Fr 11.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> [...] und dann gilt dein MWS
Das ist ja wohl erstmal ne nette Behauptung, aber doch keine Begründung! Ich hab mal n bissl rumgeguckt, sowas wie nen MWS gibt es im Komplexen scheinbar einfach nicht... (?)
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