Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\sin x)^{x} [/mm] |
Hi zusammen!
Ich versuch mich gerade auf eine Prüfung vorzubereiten und bin auf diese Aufgabe gestossen. Nun wollte ich sie lösen, bin mir jetzt aber nicht sicher, wie man da ran geht. klar ist, sinx ist beschränkt -> etwas beschränktes hoch 0 ist dann 1.
Aber da sin0 ja 0 ist bin ich etwas verunsichert.. Kann mir da jemand helfen? Vielen lieben Dank, grenzwert
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Hallo Grenzwert!
Du musst den Term zunächst umformen zu: [mm] $\left[\sin(x)\right]^x [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln[\sin(x)]} \ \right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln[\sin(x)]}$
[/mm]
Und nun den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln[\sin(x)] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln[\sin(x)]}{\bruch{1}{x}}$ [/mm] bestimmen (Tipp:  de l'Hospital).
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 15.08.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Hallo Roadrunner
Umformen ist eine gute Idee, jedoch hast du ein "Gesetz" angewandt, das nicht gilt.
Ich würde das wie folgt lösen:
f(x)=sin(x) konvergiert genau so schnell gegen 0 wie g(x)=x gegen 0 konvergiert. (beweisen kann man das mit de l´Hôpital)
ln(x) konvergiert langsamer als jedes Polynom, also konvergiert x*ln[sin(x)] gegen 0 für x-->0 und [mm] e^0 [/mm] ist 1.
-->Es liegt eine hebbare Unstetigkeit bei f(x)=1 vor
Gruß
Reinhold
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Reinhold!
Wo habe ich denn ein "Gesetz" benutzt oder eine Regel verletzt? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Mi 15.08.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Meiner Meinung nach darfst du nicht von e^(x*ln[sin(x)]) auf x*ln[sin(x)] schließen.
Gruß
Reinhold
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Reinhold!
Meinst Du folgenden Schritt: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}e^{x*\ln[\sin(x)]} [/mm] \ = \ [mm] e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln[\sin(x)]}$ [/mm] ?
Dabei verwende ich (stillschweigend) die Stetigkeit der e-Funktion, und damit ist das m.E. zulässig.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Mi 15.08.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Nein, diesen Schritt meinte ich nicht.
Wie kommst du auf das hier:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x\cdot{}\ln[\sin(x)] [/mm] ?
Gruß
Reinhold
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Reinhold!
Hier wende ich eines der Potenzgesetze an: [mm] $\left( \ a^m \ \right)^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m*n}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Mi 15.08.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Ich sehe hier kein Potenzgesetz.
1)$ [mm] e^{x\cdot{}\ln[\sin(x)]}$
[/mm]
2)$ [mm] x\cdot{}\ln[\sin(x)] [/mm] $
Diese beiden Terme sind definitiv nicht äquivalent zueinander.
Sie haben auch andere Grenzwerte.
Gruß
Reinhold
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Reinhold!
Ich habe geschrieben, er soll den Grenzwert für den Term (2) betrachten, der ja den Wert $0_$ hat.
Der Gesamtgrenzwert beträgt dann selbstverständlich [mm] $e^{\red{0}} [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Mi 15.08.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Ojeoje.
Entschuldige, bitte. Dann ist deine Überlegung natürlich vollkommen richtig. Mal wieder ein Fehler von mir.
Gruß
Reinhold
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Reinhold!
Kein Problem! Habe mich halt nur kurzfristig irritieren lassen ...
Gruß vom
Roadrunner
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