matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Analysis > Grenzwert berechnen von Reihe
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Analysis" - Grenzwert berechnen von Reihe
Grenzwert berechnen von Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwert berechnen von Reihe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Fr 13.05.2005
Autor: Berndte2002

Hallo,

es soll der Grenzwert der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)} [/mm] berechnet werden.

Ich habe schon rausgefunden, dass man das Ganze in zwei Reihen splitten kann, wobei ich von einer Reihe den Grenzwert leicht berechnen kann:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+2)} [/mm] = 1 - [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+2)} [/mm]

Aber irgendwie komme ich nicht auf den Grenzwert der zweiten Reihe, ich hoffe es kann mir wer helfen und mein Ansatz ist überhaupt richtig.
Nach meinem Taschenrechner sollte der Grenzwert [mm] \bruch{3}{4} [/mm] sein, da der Grenzwert der Gesamtreihe bei [mm] \bruch{1}{4} [/mm] liegt.
Danke
mfg
Berndte
        
Bezug
Grenzwert berechnen von Reihe: Tipp: Zerlegung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Fr 13.05.2005
Autor: Marcel

Hallo!

> Hallo,
>  
> es soll der Grenzwert der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)}[/mm]

Es gilt für alle $n [mm] \in \IN$: [/mm]
[mm]\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{\frac{1}{2}\left((n+2)-n\right)}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2}*\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)[/mm]

Kommst du damit weiter (analog zum (d.h. betrachte die Folge der Teilsummen, analog zu der Vorgehensweise im Skript bzw. Stichwort: []Teleskopreihe) oder mithilfe des, dir wohl schon bekannten, []Beispiel 6.2, S.49 f. (interne Zählung))?

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen von Reihe: Alles Klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:13 Fr 13.05.2005
Autor: Berndte2002

Super, mit der Zerlegung ist alles klar!
Danke
mfg
Berndte
Bezug
                        
Bezug
Grenzwert berechnen von Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:30 Fr 13.05.2005
Autor: Marcel


> Super, mit der Zerlegung ist alles klar!

[daumenhoch]
>  Danke

Bitte! Übrigens hast du nun Dank deiner Zerlegung auch einen Beweis dafür gefunden, dass:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+2)} =\frac{3}{4}$ [/mm] ist! War mir bisher auch noch nicht geläufig :-)!

PS: Zu der Zerlegung kann man übrigens, etwas systematischer, auch wie folgt gelangen ($A$ und $B$ seien zu bestimmen!):
[m]\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n(n+1)}-\frac{B}{(n+1)(n+2)}=\frac{A(n+2)-Bn}{n(n+1)(n+2)}=\frac{(A-B)n+2A}{n(n+1)(n+2)}[/m]
Durch Koeffizientenvergleich (ganz linke Seite der Gleichung mit der ganz rechts) erhält man das GLS:
(I) $A-B=0$
(II) 2A=1
und damit [mm] $A=B=\frac{1}{2}$. [/mm]
Nur so zur Ergänzung!

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]