Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Do 13.12.2012 | | Autor: | redrum |
| Aufgabe | Guten Abend,
Grenzwert soll berechnet werden:
[mm] \lim_{n \to \1} \bruch{1-x}{1-\wurzel{x}} [/mm] (Limes soll gegen 1 laufen!)
Meine Lösung:
[mm] \bruch{(1-x)^2}{(1-\wurzel{x})^2} [/mm] = [mm] \bruch{1-2x+x^2}{1-2\wurzel{x}+x^2} [/mm] |
wenn ich jetzt x² bzw. x ausklammere komme ich nicht auf das (richtige) Ergebnis von 2.
Für Hilfe bin ich sehr dankbar.
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Hallo redrum,
das ist in der Tat nicht geschickt.
> Grenzwert soll berechnet werden:
>
> [mm]\lim_{n \to \1} \bruch{1-x}{1-\wurzel{x}}[/mm] (Limes soll
> gegen 1 laufen!)
Dann schreib das doch. Außerdem soll bestimmt nicht [mm] n\to{1} [/mm] laufen, sondern $x$, oder?
> Meine Lösung:
>
> [mm]\bruch{(1-x)^2}{(1-\wurzel{x})^2}[/mm] =
Du kannst doch nicht einfach quadrieren! Dafür darfst den Bruch erweitern oder kürzen.
> [mm]\bruch{1-2x+x^2}{1-2\wurzel{x}+x^2}[/mm]
...und hier ist der Nenner falsch ausgerechnet.
> wenn ich jetzt x² bzw. x ausklammere komme ich nicht auf
> das (richtige) Ergebnis von 2.
[mm] \bruch{1-x}{1-\wurzel{x}}*\bruch{1+\wurzel{x}}{1+\wurzel{x}}=\bruch{(1-x)(1+\wurzel{x})}{1-x}=\cdots
[/mm]
> Für Hilfe bin ich sehr dankbar.
Damit müsstest Du doch jetzt schnell fertig werden.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 So 16.12.2012 | | Autor: | redrum |
Vielen Dank,
Antwort war sehr hilfreich.
Schönen Sonntagabend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo redrum,
> Guten Abend,
>
> Grenzwert soll berechnet werden:
>
> [mm]\lim_{n \to \1} \bruch{1-x}{1-\wurzel{x}}[/mm] (Limes soll
> gegen 1 laufen!)
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]\bruch{(1-x)^2}{(1-\wurzel{x})^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-2x+x^2}{1-2\wurzel{x}+\red{x^2}}[/mm]
im Nenner gehört am Ende [mm] $+x\,$ [/mm] hin. [mm] ($\sqrt{x}^2=x\,.$)
[/mm]
> wenn ich jetzt x² bzw. x ausklammere komme ich nicht auf
> das (richtige) Ergebnis von 2.
Naja, wenn [mm] $a_n \to a\,,$ [/mm] dann konvergiert [mm] $a_n^2 \to a^2\,,$ [/mm] aber
aus [mm] $a_n^2\to [/mm] a [mm] \ge [/mm] 0$ folgt noch lange nicht [mm] $a_n \to \sqrt{a}\,$
[/mm]
(und schon gar nicht [mm] $a_n \to a\,$): [/mm] Betrachte etwa mal [mm] $a_n=4*(-1)^n\,.$
[/mm]
Ganz falsch wäre Dein Weg übrigens dennoch nicht (umständlich schon),
man muss nur mal ein wenig mehr überlegen:
Beobachtung zunächst:
Für alle $x [mm] \not=1$ [/mm] mit $x [mm] \ge 0\,$ [/mm] ist [mm] $\frac{1-x}{1-\sqrt{x}} \ge 0\,.$
[/mm]
(Beweis?)
Du hast nun versucht, zu berechnen:
[mm] $$\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\right)^2$$
[/mm]
Das wird auch gehen. Entweder mit einem Trick (analog zu reverends
Vorschlag), oder etwa auch mit de L'Hospital:
[mm] $$\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\right)^2=\lim_{x \to 1}\frac{2x-2}{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}=\lim_{x \to 1}\frac{2}{\frac{1}{2}x^{-3/2}}=4\,,$$
[/mm]
sofern ich mich nicht verrechnet habe.
Und nun kann man sich überlegen: Gilt [mm] $a_n \ge 0\,$ [/mm] für alle (bis auf endlich viele) [mm] $n\,$ [/mm]
und gilt [mm] $a_n^2 \to [/mm] a$ (insbesondere folgt hier dann schon, dass $a [mm] \ge [/mm] 0$
sein muss!), dann folgt auch [mm] $a_n \to \sqrt{a}\,.$
[/mm]
Bei Dir oben folgt analog also wegen [mm] $(1-x)/(1-\sqrt{x}) [/mm] > 0$ (für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ mit $x [mm] \not=1$) [/mm]
dann aus
[mm] $$\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\right)^2=4$$
[/mm]
somit
[mm] $$\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\right)=\sqrt{4}=2\,.$$
[/mm]
P.S. Natürlich machst Du dann - wie Du siehst - hier wirklich einen
unnötigen Umweg. Zumal man sich fragen könnte:
Warum wendest Du nicht direkt de l'Hospital auf
[mm] $$\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\right)$$
[/mm]
an?
Übrigens - auch, wenn das prinzipiell das gleiche ist wie bei reverend:
Im Zähler kannst Du auch mit der dritten binomischen Formel für alle
$x [mm] \ge [/mm] 0$ schreiben
[mm] $$1-x=(1+\sqrt{x})*(1-\sqrt{x})\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 So 16.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo redrum!
Du kannst hier auch im Zähler folgende Gleichheit mit Hilfe der 3. binomischen Formel anwenden:
[mm]1-x \ = \ 1^2-\left(\wurzel{x}\right)^2 \ = \ \left(1+\wurzel{x}\right)*\left(1-\wurzel{x}\right)[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Loddar,
> Hallo redrum!
>
>
> Du kannst hier auch im Zähler folgende Gleichheit mit
> Hilfe der 3. binomischen Formel anwenden:
>
> [mm]1-x \ = \ 1^2-\left(\wurzel{x}\right)^2 \ = \ \left(1+\wurzel{x}\right)*\left(1-\wurzel{x}\right)[/mm]
habe ich (ganz am Ende) auch schon erwähnt. Aber vielleicht ist ein
doppelter Hinweis gar nicht so schlecht - zumal bei Dir deutlicher wird,
wo da die dritte bin. Formel steckt!
Gruß,
Marcel
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