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| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0 } \frac{x^2sin(\frac{1}{x}) - x}{1 - e^x} [/mm] |
Hi,
de l'Hospital ist da nicht anwendbar, weil der Grenzwert der Zählerfunktionsableitung nicht existiert. Und bis jetzt habe ich es nicht umformen können, sodass ich einen Limes erahnen könnte.
Snafu
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Hallo Snafu,
dochdoch, über den Grenzwert des Zählers ist eine Aussage zu treffen, da [mm] \sin{\bruch{1}{x}} [/mm] beschränkt ist.
Grüße
reverend
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Hi,
also bei uns in der Vorlesung war ein ähnlicher Term und da haben wir gesagt, weil [mm] cos(\frac{1}{x}) [/mm] osziliert existiert kein Grenzwert. Und dann haben wir der Term auf andere weiße durch umformung gelöst. Und man hat uns drauf hingewiesen, dass bei einem Term Hospital nicht anwendbar ist, und das ist der einzige wo das zutrifft.
Snafu
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Hiho,
> weil [mm]cos(\frac{1}{x})[/mm] osziliert
> existiert kein Grenzwert.
Das ist auch korrekt, allerdings hat [mm] $x*\cos{\bruch{1}{x}}$ [/mm] für [mm] $x\to [/mm] 0$ einen GW.
Da der Cosinus beschränkt ist und das x gegen 0 läuft, läuft der gesammte Term auf jeden Fall auch gegen 0.
MFG,
Gono.
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HI,
ja wenn man aber [mm] x^2sin(\frac{1}{x}) [/mm] - x ableitet kommt [mm] 2xsin(\frac{1}{x}) [/mm] - 1 - [mm] cos(\frac{1}{x}) [/mm] raus und hier wird cos von keinem Vorvaktor beschränkt.
Somit kein Hospital, wenn ich mich nicht irre.
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Wredi |
das stimmt nicht ganz:
EDIT: es ist natürlich die ableitung von snafu richtig, ich habe [mm] \brcuh{1}{x} [/mm] falsch abgeleitet.
stichwort produktregel bei [mm] x^2 \cdot sin(\bruch{1}{x}
[/mm]
MfG Wredi
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:09 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Deine Ableitung ist schlichtweg falsch und die vom Fragesteller stimmt.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 21:10 Sa 12.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Wredi,
nee, hier wird doch gerade abgeleitet, und die Ableitung von Snafu ist schon richtig. Du verwechselst da was mit dem Integrieren von [mm] \tfrac{1}{x} [/mm] ...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Wredi |
warum ist die Benutzung der produktregel hier falsch? ich steh grad ziemlich auf dem Schlauch
MfG Wredi
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Hallo Wredi,
es ist nicht falsch, die Produktregel zu benutzen, sondern sogar unbedingt erforderlich.
Nur Deine Ableitung von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] stimmt nicht, die ist nämlich [mm] -\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Wie schon gesagt, Du verwechselst da was.
Die Ableitung von [mm] \ln{x} [/mm] ist ja [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] aber das war hier gerade nicht gefragt.
Grüße
reverend
PS: Das passiert jedem mal! Nimms also nicht tragisch oder hochnäsig, wenn Gonozal und ich so plötzlich reagieren. Falsch war es eben trotzdem.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Wredi |
ach du je, stimmt ja..... meine güte.
ok, ich bin schon wieder ruhig :)
danke für die erklärung.
MfG Wredi
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> HI,
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> ja wenn man aber [mm]x^2sin(\frac{1}{x})[/mm] - x ableitet kommt
> [mm]2xsin(\frac{1}{x})[/mm] - 1 - [mm]cos(\frac{1}{x})[/mm] raus und hier
> wird cos von keinem Vorvaktor beschränkt.
> Somit kein Hospital, wenn ich mich nicht irre.
Soweit korrekt, da der GW nicht existieren würde.
Aber ein kleiner Trick bringt dich trotzdem weiter:
[mm] $\frac{x^2sin(\frac{1}{x}) - x}{1 - e^x} [/mm] = [mm] \frac{x}{1 - e^x}*(x\sin{\frac{1}{x}} [/mm] - 1)$
Nun überleg mal, was dir das bringt 
MFG,
Gono.
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Hi,
also ich sehe das ich dann wieder [mm] \frac{0}{0} [/mm] habe, das würde auf Hospital deuten, aber da ja noch ein andere Term als Faktor danach steht, bin ich unsicher wie ich hier fortfahren würde?
edit:
Ah ok, ich gucken mir den ersten Faktorterm mit hospital an und der liefert mir -1 und bein andern sieht man ja das es -1 ist und somit kommt, wie du sagst am Schluss 1 raus.
Snafu
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Hallo nochmal,
ja, genau!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Sa 12.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Abend,
und einen großen Dank an alle!
War ja mal ne hitzige Diskussion :)
Snafu
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Hallo nochmal,
> ja wenn man aber [mm]x^2sin(\frac{1}{x})[/mm] - x ableitet kommt
> [mm]2xsin(\frac{1}{x})[/mm] - 1 - [mm]cos(\frac{1}{x})[/mm] raus und hier
> wird cos von keinem Vorvaktor beschränkt.
> Somit kein Hospital, wenn ich mich nicht irre.
Richtig, aber einmal hast Du ihn damit ja schon angewandt.
Und erst jetzt kannst Du entscheiden, dass der Grenzwert eben nicht existiert.
edit: man beachte Gonozals hierauf bezogenen Hinweis. Meine Folgerung war falsch! Richtig ist, dass das Ergebnis (Grenzwert existiert nicht) nur Auskunft darüber gibt, dass l'Hospital hier kein gültiges Ergebnis zu liefern vermag.
Mit Gonozals letztem Tipp kommst Du auf ähnlichem Weg zum gleichen Ergebnis.
edit: auch das war voreilig; ich bin einem Denkfehler aufgesessen. Der Tipp ist gut, und ich sehe z.Z. keinen anderen Weg, das richtige Ergebnis zu bestimmen.
Grüße
reverend
PS @Gono: ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 21:18 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
> Richtig, aber einmal hast Du ihn damit ja schon angewandt.
> Und erst jetzt kannst Du entscheiden, dass der Grenzwert
> eben nicht existiert.
Huhu 
hier machst du einen kleinen aber schwerwiegenden Fehler!
Wenn der (uneigentliche) Grenzwert nicht existiert nach der Anwendung von L'Hospital, dann heisst dass NICHT, dass der Ursprungsgrenzwert nicht existiert, sondern einzig, dass man L'Hospital nicht anwenden darf!
> Mit Gonozals letztem Tipp kommst Du auf ähnlichem Weg zum
> gleichen Ergebnis.
Eben nicht!
Mit meinem Tip kommt man auf einen Grenzwert, nämlich 1.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:32 Sa 12.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hmmm...
darüber musste ich einen Moment nachdenken.
Du hast in beiden Punkten Recht, Gono!
Pardon für meine falsche Einlassung.
Ich werde sie umgehend (erkennbar) editieren.
Liebe Grüße
reverend
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meines erachtens hilft l1hopital hier weiter
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0 } \frac{x^2sin(\frac{1}{x}) - x}{1 - e^x} [/mm] $
abgeleitet:
(2xsin(1/x) + xcosx -1)/ [mm] -e^x) [/mm] lässt jetz limes laufen gegen null und erhälst den grenzwert 1
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 22:31 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
wie im Verlauf der Diskussion schon festgestellt, hilft L'Hospital hier NICHT weiter.
Dass es dir "hilft" liegt einfach daran, dass deine Ableitung vom Zähler falsch ist.
MFG,
Gono.
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