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Hallöchen, kann mir bitte jemand zeigen, wie ich den Grenzwert zu der komplexen Zahlenfolge [mm] (a_n) [/mm] berechne, mit:
[mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{
(3 + 3i)^{n + 1} + 4^n
}{
4 * (3 + 3i)^{n} + 7
}
[/mm]
Sicherlich machbar, aber bei mir hakt's irgendwie.
Ein kleiner Auszug meiner Überlegungen:
Mein Gedanke war das Ausmultiplizieren von (3 + [mm] 3i)^n [/mm] in Zähler und Nenner und anschließendes Wegkürzen. Das ergibt:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{
(3 + 3i) + \bruch{4^{n}}{(3 + 3i)^{n}}
}{
4 + 7 * \bruch{1}{(3 + 3i)^{n}}
}
[/mm]
Es geht [mm] \bruch{7}{(3 + 3i)^{n}} [/mm] gegen 0, da insbesondere |(3 + 3i)| > 0 ist. Aber was mache ich mit [mm] \bruch{4^{n}}{(3 + 3i)^{n}} [/mm] ??
Schonmal vielen lieben Dank für eine Korrektur bzw. klärende Antwort!
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Hallo!
Erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Hallöchen, kann mir bitte jemand zeigen, wie ich den
> Grenzwert zu der komplexen Zahlenfolge [mm](a_n)[/mm] berechne,
> mit:
>
> [mm]a_n[/mm] := [mm]\bruch{
(3 + 3i)^{n + 1} + 4^n
}{
4 * (3 + 3i)^{n} + 7
}[/mm]
>
> Sicherlich machbar, aber bei mir hakt's irgendwie.
>
> Ein kleiner Auszug meiner Überlegungen:
>
> Mein Gedanke war das Ausmultiplizieren von (3 + [mm]3i)^n[/mm] in
> Zähler und Nenner und anschließendes Wegkürzen. Das
> ergibt:
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{
(3 + 3i) + \bruch{4^{n}}{(3 + 3i)^{n}}
}{
4 + 7 * \bruch{1}{(3 + 3i)^{n}}
}[/mm]
>
> Es geht [mm]\bruch{7}{(3 + 3i)^{n}}[/mm] gegen 0, da insbesondere
> |(3 + 3i)| > 0 ist. Aber was mache ich mit [mm]\bruch{4^{n}}{(3 + 3i)^{n}}[/mm]
> ??
Wie Du richtig gesagt hast, geht [mm] $\frac{7}{(3+3i)^n}$ [/mm] gegen 0, allerdings ist die Begründung falsch, oder Du hast dich vertippt...
denn [mm] $|3i+3|=3\wurzel{2}\approx4.24>1$.
[/mm]
Es reicht nämlich nicht allein, daß $|3+3i|>0$ ist, wäre es nämlich zwischen 0 und 1, so würde das ganze gegen 0 konvergieren, und Du bekämst für den Bruch [mm] $\frac{7}{(3+3i)^n}$ [/mm] keinen endlichen Grenzwert.
Die Eigenschaft, die uns jetzt hier im schlimmsten Falle zu schaffen gemacht hätte, kommt uns jetzt beim Zähler zugute, denn dort können wir dann auch schreiben: [mm] $|\frac{4^n}{(3+3i)^n}|=(\frac{|4|}{|3+3i|})^n\approx(\frac{4}{4.24})^n$
[/mm]
Da die Basis hier vom Betrag kleiner als 1 ist, geht der Term auch gegen 0 für n gegen unendlich.
Kommst Du nun alleine auf den Grenzwert?
Gruß,
Christian
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Super, vielen Dank für die blitzschnelle Antwort, Christian! 
Ja, die 0 war ein Tippfehler. Wenn q komplexe Zahl, divergiert [mm] q^{n} [/mm] , falls |q| > 1 (und geht gegen 0, falls |q| < 1).
Der Knackpunkt bzw. Trick, auf den ich nicht gekommen bin, war das Anwenden der Betragsfunktion insbesondere auf 4. Tolle Sache, ich hab's jetzt kapiert! Der Grenzwert sollte also [mm] (\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}i) [/mm] sein (und ich bete, daß das jetzt nicht falsch war...!)
Danke nochmal!!
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