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Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Sa 18.07.2009
Autor: katjap

Aufgabe
Berechnen Sie den Grenzwert

[mm] \limes_{x\rightarrow\0} (\bruch{a^{x}+b^{x}}{2})^{\bruch{1}{x}} [/mm]
a,b >0     das sol limes x gegen null heissen  

man kann diesen bruch ja auch so schreiben

[mm] \bruch{(a^{x}+b^{x})^{\bruch{1}{x}}}{2^{\bruch{1}{x}}} [/mm]
a,b >0

dann würde da ja dann unendlich durch unendlich steht die regel von l'hopital gelten.

also dass die beiden Ableitungen jeweils den gleichen limes bilden.

leider kommt dann bei mir das hier raus:

[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{(a^{x}+b^{x})^{\bruch{x-1}{x}}*x*(a+b)^{x-1}}{2^{\bruch{1}{x}}} [/mm]

und daraus weiss ich nicht was tun.
ich bin mir nichtmal sicher ob cih da die ableitungen richtig gebildet habe.

danke für korrekturvorschläge und hilfestellungen


        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Sa 18.07.2009
Autor: abakus


> Berechnen Sie den Grenzwert
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} (\bruch{a^{x}+b^{x}}{2})^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>  
> a,b >0     das sol limes x gegen null heissen
> man kann diesen bruch ja auch so schreiben
>  
> [mm]\bruch{(a^{x}+b^{x})^{\bruch{1}{x}}}{2^{\bruch{1}{x}}}[/mm]
>  a,b >0

Hallo,
nimm o.B.d A. an, dass a>b gilt.  Dann ist [mm] a^x+b^x=a^x(1+(\bruch{b}{a})^x). [/mm]
Gruß Abakus

>  
> dann würde da ja dann unendlich durch unendlich steht die
> regel von l'hopital gelten.
>  
> also dass die beiden Ableitungen jeweils den gleichen limes
> bilden.
>  
> leider kommt dann bei mir das hier raus:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{(a^{x}+b^{x})^{\bruch{x-1}{x}}*x*(a+b)^{x-1}}{2^{\bruch{1}{x}}}[/mm]
>  
> und daraus weiss ich nicht was tun.
> ich bin mir nichtmal sicher ob cih da die ableitungen
> richtig gebildet habe.
>  
> danke für korrekturvorschläge und hilfestellungen
>  


Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 Sa 18.07.2009
Autor: katjap

danke,

ich denke ich sehe es jetzt....
der Grenzwert ist doch dann für

[mm] a^{x}*[1+{\bruch{b}{a}}^{\bruch{1}{x}}] [/mm]  epsilon für x gegen null, oder?

ich weiss jetzt nur nicht was ich mit der  2 machen soll, weil eigtl hiesse das doch [mm] 2^{\bruch{1}{x}} [/mm] und das wäre doch dann unendlich für x geg null...

oder hab ich jetzt was verwechselt?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Sa 18.07.2009
Autor: abakus


> danke,
>  
> ich denke ich sehe es jetzt....
>  der Grenzwert ist doch dann für
>  
> [mm]a^{x}*[1+{\bruch{b}{a}}^{\bruch{1}{x}}][/mm]  epsilon für x
> gegen null, oder?
>  
> ich weiss jetzt nur nicht was ich mit der  2 machen soll,

Die x-te Wurzel einer positiven Zahl geht gegen 1....

> weil eigtl hiesse das doch [mm]2^{\bruch{1}{x}}[/mm] und das wäre
> doch dann unendlich für x geg null...
>
> oder hab ich jetzt was verwechselt?


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert berechnen: Euer Weg ist Holzweg!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:44 Sa 18.07.2009
Autor: wauwau

nimm an, dass der Grenzwert existiert

und versuche den Logarithmus des Grenzwertes zu berechnen.

Dann kannst du viel einfacher de l'Hospital anwenden!!!

Lösung ist dann [mm] \wurzel(ab) [/mm]


Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Sa 18.07.2009
Autor: katjap

hm,

ich verstehe nicht was du meinst mit logarithmus auf den grenzwert berechnen, wenn ich den grenzwert ja nicht kenne (auf dme schlauch steh).

ich denke eben, dass der erste weg dann gelten würde, wenn die angewendete bedingung a>b gelten würde, da diese aber nciht angegeben ist, muss es auf einem anderen weg gehen.

es wäre nett wenn du mir diesen näher erklären würdest.

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Sa 18.07.2009
Autor: fencheltee


> hm,
>  
> ich verstehe nicht was du meinst mit logarithmus auf den
> grenzwert berechnen, wenn ich den grenzwert ja nicht kenne
> (auf dme schlauch steh).
>  
> ich denke eben, dass der erste weg dann gelten würde, wenn
> die angewendete bedingung a>b gelten würde, da diese aber
> nciht angegeben ist, muss es auf einem anderen weg gehen.
>  
> es wäre nett wenn du mir diesen näher erklären würdest.

$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} (\bruch{a^{x}+b^{x}}{2})^{\bruch{1}{x}} [/mm] $ kannst du ja auch so schreiben:

[mm] \limes_{x\rightarrow 0} e^{ln(\frac{a^x+b^x}{2})*\frac{1}{x}} [/mm]
dann wegen der stetigkeit der e-funktion:
[mm] exp(\limes_{x\rightarrow 0}ln(\frac{a^x+b^x}{2})*\frac{1}{x}) [/mm] was ja einem [mm] "0*\infty" [/mm] entspricht, der ja einfach zu bewältigen ist

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Sa 18.07.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> hm,
>  
> ich verstehe nicht was du meinst mit logarithmus auf den
> grenzwert berechnen, wenn ich den grenzwert ja nicht kenne
> (auf dme schlauch steh).
>  
> ich denke eben, dass der erste weg dann gelten würde, wenn
> die angewendete bedingung a>b gelten würde, da diese aber
> nciht angegeben ist, muss es auf einem anderen weg gehen.

dies kannst Du o.B.d.A. annehmen. Denn für [mm] $a=b\,$ [/mm] kannst Du [mm] $a^x+b^x=2a^x$ [/mm] schreiben und das benutzen, der Fall wird trivial. Wenn sowieso [mm] $a\,>b$ [/mm] gilt,  ist nichts zu tun. Wenn $a < [mm] b\,$ [/mm] gelten würde, dann vertauschst Du einfach die Rollen von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] gegeneinander.

Gruß,
Marcel

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:14 Sa 18.07.2009
Autor: katjap

vielen dank für die vielen antworten und die möglichkeiten an diese aufgabe ranzugehen.


hat mir sehr weitergeholfen...

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert berechnen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 13:12 Sa 18.07.2009
Autor: Marcel

Hallo Abakus,

> > danke,
>  >  
> > ich denke ich sehe es jetzt....
>  >  der Grenzwert ist doch dann für
>  >  
> > [mm]a^{x}*[1+{\bruch{b}{a}}^{\bruch{1}{x}}][/mm]  epsilon für x
> > gegen null, oder?
>  >  
> > ich weiss jetzt nur nicht was ich mit der  2 machen soll,
> Die x-te Wurzel einer positiven Zahl geht gegen 1....

hier wird aber nicht $x [mm] \to \infty,$ [/mm] sondern $x [mm] \to [/mm] 0$ betrachtet. Dann stimmt das natürlich nicht - das hast Du vll. bei Deiner Vorgehensweise übersehen?!

Gruß,
Marcel

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