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Grenzwert berechnen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:19 Mi 05.02.2014
Autor: Babybel73

Hallo

Habe ein kleines Problem mit einer Grenzwertbestimmung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)!} [/mm]

Kann mir jemand sagen, wie ich den berechnen könnte? (Das es 0 geben sollte weiss ich bereits, aber wie ich darauf kommen könnte, ist mir ein Rätsel)

Besten Dank!

        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Mi 05.02.2014
Autor: Sax

Hi,

es ist doch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{1}{(2n+2)!}) [/mm]
Alle drei Faktoren stellen konvergente Folgen dar, also benutze Grenzwertsätze.

Gruß Sax.


Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Mi 05.02.2014
Autor: Babybel73

Ah dann kann ich:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{1}{(2n+2)!})=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(2n+2)!})=\bruch{1}{2}*e*0=0 [/mm]

Besten Dank!

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Bezug
Grenzwert berechnen: sieht gut aus, aber ... ;-)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Mi 05.02.2014
Autor: Roadrunner

Hallo Babybel!


> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{1}{(2n+2)!})=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(2n+2)!})=\bruch{1}{2}*e*0=0[/mm]

Das sieht prinzipiell sehr gut aus. [ok]


Aber wie lautet denn die ursprüngliche Aufgabenstellung?
Ich habe den Verdacht, hier wurde das Quotientenkritierium einer Reihe bemüht oder der entsprechende Konvergenzradius berechnet.
Dann würde nämlich mit großer Wahrscheinlichkeit gar keine Fakultät mehr auftreten (nach Zusammenfassen und Kürzen).

Oder war hier wirklich direkt der Grenzwert des o.g. Terms / Folge gefragt?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Mi 05.02.2014
Autor: Babybel73

Hallo Roadrunner

Ja es geht tatsächlich um eine Reihe, nämlich: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^n}{(2n)!} [/mm]
Habe auch gerade bemerkt, dass es nach dem Quot.krit. keine Fakultät mehr hat...
Aber dennoch muss ich ja den Grenzwert:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{1}{(2n+2)})=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(2n+2)})=\bruch{1}{2}*e*0=0[/mm]
berechnen. Und da dieser kleiner als 1 ist, folgt, dass die Reihe konvergiert.

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert berechnen: kleiner Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Mi 05.02.2014
Autor: Roadrunner

Hallo Babybel!


> Aber dennoch muss ich ja den Grenzwert:   [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)}[/mm]

Das Ergebnis am Ende ist korrekt. Aber irgendwo im Quotientenkriterium hast Du Dich vertan.

Es muss nämlich lauten:

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)^n}{2*n^n*(2n+\red{1})} [/mm] \ = \ ...$

Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:27 Mi 05.02.2014
Autor: Sax

Hi,


Gratuliere zu deinem detektivischen Spürsinn !

Gruß Sax.

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:37 Mi 05.02.2014
Autor: Babybel73

Hallo Roadrunner

Ach ja...hab den Fehler gefunden.... :/

Vielen Dank!

Bezug
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