Grenzwert bei rekursiven Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Do 03.12.2015 | | Autor: | ronnez |
Hallo,
folgende Frage:
Ich habe eine rekursive Folge mit a1=3 und a [mm] (n+1)=\wurzel{an+12} [/mm] gegebn. Ich soll zeigen, dass sie konvergiert und deren Grenzwert bestimmen.
Ich setze also erstmal [mm] a=\wurzel{a+12} [/mm] und forme dann nach a um. ich erhalte a=4, d.h. die Folge konvergiert gegen 4.
Das kann ich auch dann mit vollständiger Induktion nochmals beweisen.
Soweit so gut.
Meiner Frage bezieht sich jetzt auf die Definiton des Grenzwerts mit der Epsilon-Umgebung. [mm] |a-an|<\varepsilon [/mm]
Muss ich meinen Beweis mit der Epsilon-Umgebung machen? (bin kein reiner Mathe-student, sondern studiere Elektrotechnik).
Falls ja, wie fahre ich fort, wenn ich für a=4 einsetze, also [mm] |4-an|<\varepsilon [/mm] ?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:22 Fr 04.12.2015 | | Autor: | Fulla |
> Hallo,
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> folgende Frage:
> Ich habe eine rekursive Folge mit a1=3 und a
> [mm](n+1)=\wurzel{an+12}[/mm] gegebn. Ich soll zeigen, dass sie
> konvergiert und deren Grenzwert bestimmen.
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> Ich setze also erstmal [mm]a=\wurzel{a+12}[/mm] und forme dann nach
> a um. ich erhalte a=4, d.h. die Folge konvergiert gegen 4.
Hallo ronnez,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So hätte ich das jetzt auch gemacht. Evtl. könntest du noch erwähnen, dass die zweite Lösung der quadratischen Gleichung zu vernachlässigen ist.
> Das kann ich auch dann mit vollständiger Induktion
> nochmals beweisen.
>
> Soweit so gut.
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> Meiner Frage bezieht sich jetzt auf die Definiton des
> Grenzwerts mit der Epsilon-Umgebung. [mm]|a-an|<\varepsilon[/mm]
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> Muss ich meinen Beweis mit der Epsilon-Umgebung machen?
> (bin kein reiner Mathe-student, sondern studiere
> Elektrotechnik).
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> Falls ja, wie fahre ich fort, wenn ich für a=4 einsetze,
> also [mm]|4-an|<\varepsilon[/mm] ?
Definiere dir eine (Null-)Folge [mm]\varepsilon_n[/mm] (z.B. sowas wie [mm]\varepsilon_n:=\frac{1}{2^n}[/mm]) und zeige z.B. induktiv [mm]|4-a_n|<\varepsilon_n[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb N[/mm] (sprich: [mm]a_n[/mm] und der Grenzwert unterscheiden sich mich wachsendem [mm]n[/mm] immer weniger).
Erläutere mal deinen Beweis mit Induktion von oben. Vielleicht geht der ja schon in die Richtung...
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Fr 04.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> folgende Frage:
> Ich habe eine rekursive Folge mit a1=3 und a
> [mm](n+1)=\wurzel{an+12}[/mm] gegebn. Ich soll zeigen, dass sie
> konvergiert und deren Grenzwert bestimmen.
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> Ich setze also erstmal [mm]a=\wurzel{a+12}[/mm] und forme dann nach
> a um. ich erhalte a=4, d.h. die Folge konvergiert gegen 4.
Aua, aua... Zuerst solltest Du zeigen , dass die Folge monoton und beschränkt ist. Dann kannst Du sicher sein, dass sie konvergiert.
Nennen wir dann a ihren Grenzwert, so gilt [mm]a=\wurzel{a+12}[/mm] , also a=4.
Jetzt benötigst Du kein [mm] \varepsilon [/mm] mehr !
FRED
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> Das kann ich auch dann mit vollständiger Induktion
> nochmals beweisen.
>
> Soweit so gut.
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> Meiner Frage bezieht sich jetzt auf die Definiton des
> Grenzwerts mit der Epsilon-Umgebung. [mm]|a-an|<\varepsilon[/mm]
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> Muss ich meinen Beweis mit der Epsilon-Umgebung machen?
> (bin kein reiner Mathe-student, sondern studiere
> Elektrotechnik).
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> Falls ja, wie fahre ich fort, wenn ich für a=4 einsetze,
> also [mm]|4-an|<\varepsilon[/mm] ?
>
> Danke im Voraus
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Du hast das alles schon richtig gemacht:
Zunächst nimmst du einfach an, dass die Folge konvergiert und bestimmst damit den Grenzwert. Damit ist aber noch nicht erwiesen, dass sie überhaupt konvergiert, aber das hilft dir schon weiter.
Wenn du jetzt mal Zahlen unter 4 in die rechte Gleichung einsetzt, stellst du fest, dass du immer unter 4 bleibst.
Nun zeigst du mit vollst. Ind.: Wenn [mm] a_n<4 [/mm] ist, dann ist auch [mm] a_{n+1}<4. [/mm] Und da [mm] a_1=3<4 [/mm] ist, gilt das für alle n. Somit ist die Folge beschränkt.
Nun zeigst du ebenfalls per vollst. Ind.: Wenn [mm] a_n<4 [/mm] ist, ist [mm] a_n
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