Grenzwert, Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | a) Die durch f(x) = 1 für x [mm] \in \IQ [/mm] und f(x)= a für x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] gegebene Funktion ist nirgends stetig.
b) Seien a, b in [mm] \IR, [/mm] a [mm] \not= [/mm] b. Die durch f(x) = a für x [mm] \not= [/mm] 0 unf f(0) = b gegebene Funktion auf [mm] \IR [/mm] hat bei 0 den Grenzwert a. |
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HI!
zu a)
also hier weiß ich garnicht so recht wie ich überhaupt vorgehen soll. ich dachte mir ich könnte das mit einem widerspruchsbeweis machen und annnehmen dass f(x) an der stelle a [mm] \in [/mm] D stetig ist
daraus würde ja folgen, dass für jede folge [mm] (a_{n})_{1}^{\infty} [/mm] in D mit [mm] a_{n} [/mm] -> a gilt f [mm] (a_{n} [/mm] -> f(a)
hier komm ich allerdings schon gar nicht mehr weiter
zu b)
hier reicht meine Indee schon etwas weiter und ich würde gerne wissen ob ich das so machen kann:
es gebe eine Folge [mm] (x_{n})_{1}^{\infty} [/mm] in D\ {0} mit [mm] x_{n} [/mm] -> x
z.z. für jede folge [mm] (x_{n})_{1}^{\infty} [/mm] in D\ {0} mit [mm] x_{n} [/mm] -> 0 gilt f [mm] (x_{n}) [/mm] -> a also z. z. |f [mm] (x_{n}) [/mm] - a |< [mm] \epsilon [/mm]
es gilt ja |f [mm] (x_{n}) [/mm] - a | = |a - a |= 0 < [mm] \epsilon [/mm] , also wär ich hier schon fertig.
Danke schonmal für Deine Hilfe ;)
Lg, Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Fr 13.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Katrin,
> zu a)
>
> also hier weiß ich garnicht so recht wie ich überhaupt
> vorgehen soll. ich dachte mir ich könnte das mit einem
> widerspruchsbeweis machen und annnehmen dass f(x) an der
> stelle a [mm]\in[/mm] D stetig ist
> daraus würde ja folgen, dass für jede folge
> [mm](a_{n})_{1}^{\infty}[/mm] in D mit [mm]a_{n}[/mm] -> a gilt f [mm](a_{n}[/mm] ->
> f(a)
> hier komm ich allerdings schon gar nicht mehr weiter
>
Um zu einem Widerspruch zu kommen müssen wir also nur eine Folge [mm] (a_n) [/mm] finden, so dass [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = x[/mm] und [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} f(a_n) \ne f(x)[/mm].
Ist jetzt z.B. [mm]x \in \IR \setminus \IQ[/mm], dann gibt es sicher eine Folge [mm] (a_n) [/mm] in [mm] \IQ [/mm] mit [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = x[/mm] [mm] (\IQ [/mm] ist dicht in [mm] \IR), [/mm] und die tuts dann doch.
Für [mm]x \in \IQ[/mm] dann natürlich entsprechend umgekehrt.
> zu b)
>
> hier reicht meine Indee schon etwas weiter und ich würde
> gerne wissen ob ich das so machen kann:
>
> es gebe eine Folge [mm](x_{n})_{1}^{\infty}[/mm] in D\ {0} mit [mm]x_{n}[/mm]
> -> x
???Was ist denn jetzt hier x???
> z.z. für jede folge [mm](x_{n})_{1}^{\infty}[/mm] in D\ {0} mit
> [mm]x_{n}[/mm] -> 0 gilt f [mm](x_{n})[/mm] -> a also z. z. |f [mm](x_{n})[/mm] - a
> |< [mm]\epsilon[/mm]
für ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 und [mm] n>n_0: [/mm] die Existenz eines solchen [mm] n_0 [/mm] zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ist es doch, die gefordert wird. Allerdings ist es in diesem Fall eigentlich egal [mm] (n_0 [/mm] = 1 tuts ja immer, wie man an den nächsten Zeilen sieht).
> es gilt ja |f [mm](x_{n})[/mm] - a | = |a - a |= 0 < [mm]\epsilon[/mm] ,
> also wär ich hier schon fertig.
>
> Danke schonmal für Deine Hilfe ;)
Wenns denn geholfen hat....
>
> Lg, Katrin
GRuß
piet
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