Grenzwert Standardabweichung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:30 So 14.08.2011 | | Autor: | DarkCell |
| Aufgabe | | Geben Sie die Gleichungen zur Berechnung der Standardabweichung der Einzelmessung und der Standardabweichung des Mittelwertes. Erläutern Sie kurz die Bedeutung beider Größen. Wie verhalten sich die Grenzwerte beider Größen, wenn die Anzahl der Messungen gegen Unendlich geht. |
Ich bin hoffentlich im richtigen Unterforum gelandet, die Aufgabe kommt aus dem Fach Messtechnik.
Die ersten Teile der Aufgabe sind keine Probleme. Das einzige wo ich unsicher bin sind die Grenzwerte für unendlich Messungen.
Die Standardabweichung des Mittelwertes gibt ja an in welchem Intervall um ihn mit welcher Wahrscheinlichkeit der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit liegt. Und bei unendlich Messungen müsste doch der Mittelwert gegen den wahren Mittelwert streben, da wir der Grundgesamtheit nahe kommen, also müsste doch die Standardabweichung des Mittelwertes Null werden oder?
Aber die normale Standardabweichung wird doch nicht null oder? Ich meine sie gibt ja an in welchen Intervallen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Messwerte verteilt sind und auch bei unendlich Messungen müssten doch die Messwerte trotzdem streuen.
Danke im Voraus für eure Hilfe
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> Geben Sie die Gleichungen zur Berechnung der
> Standardabweichung der Einzelmessung und der
> Standardabweichung des Mittelwertes. Erläutern Sie kurz
> die Bedeutung beider Größen. Wie verhalten sich die
> Grenzwerte beider Größen, wenn die Anzahl der Messungen
> gegen Unendlich geht.
> Ich bin hoffentlich im richtigen Unterforum gelandet, die
> Aufgabe kommt aus dem Fach Messtechnik.
> Die ersten Teile der Aufgabe sind keine Probleme. Das
> einzige wo ich unsicher bin sind die Grenzwerte für
> unendlich Messungen.
> Die Standardabweichung des Mittelwertes gibt ja an in
> welchem Intervall um ihn mit welcher Wahrscheinlichkeit der
> wahre Mittelwert der Grundgesamtheit liegt. Und bei
> unendlich Messungen müsste doch der Mittelwert gegen den
> wahren Mittelwert streben, da wir der Grundgesamtheit nahe
> kommen, also müsste doch die Standardabweichung des
> Mittelwertes Null werden oder?
> Aber die normale Standardabweichung wird doch nicht null
> oder? Ich meine sie gibt ja an in welchen Intervallen mit
> welcher Wahrscheinlichkeit die Messwerte verteilt sind und
> auch bei unendlich Messungen müssten doch die Messwerte
> trotzdem streuen.
>
> Danke im Voraus für eure Hilfe
Hallo DarkCell,
mir kommt in dieser Aufgabe der Ausdruck "Standardabwei-
chung der Einzelmessung" etwas sonderbar vor. Aus einer
einzigen Messung allein kann man ja statistisch keine
Standardabweichung ermitteln.
Deshalb macht das Ganze nur Sinn, wenn man von einer
vorgegebenen Verteilung ausgehen kann, welcher sich die
einzelnen Messergebnisse fügen. Die "Standardabweichung
der Einzelmessung" ist dann das [mm] $\sigma_X=\sqrt{Var(X)}$ [/mm] der ent-
sprechenden Verteilung.
Die gestellten Fragen sollte man auf Grund der Formeln
entscheiden können. Gib die Formeln, von denen du ausgehst,
doch mal an !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 So 14.08.2011 | | Autor: | DarkCell |
Nein man kann nicht aus einer Einzelmessung eine Standardabweichung berechnen, aber man kann (bei uns in Messtechnik) eben die Standardabweichung der Messreihe berechnen, die wir als
"Empirische Standardabweichung der Einzelmessung" bezeichnen und die sich wie folgt berechnet:
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{ \bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}}
[/mm]
wobei [mm] \overline{x} [/mm] der Mittelwert der Messreihe ist
und die "Standardabweichung des Mittelwertes" ist wie folgt definiert:
[mm] \sigma_{n}=\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}
[/mm]
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> Nein man kann nicht aus einer Einzelmessung eine
> Standardabweichung berechnen, aber man kann (bei uns in
> Messtechnik) eben die Standardabweichung der Messreihe
> berechnen, die wir als
> "Empirische Standardabweichung der Einzelmessung"
> bezeichnen und die sich wie folgt berechnet:
> [mm]\sigma[/mm] = [mm]\wurzel{ \bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}}[/mm]
>
> wobei [mm]\overline{x}[/mm] der Mittelwert der Messreihe ist
> und die "Standardabweichung des Mittelwertes" ist wie
> folgt definiert:
> [mm]\sigma_{n}=\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}[/mm]
Hallo DarkCell,
bei diesen beiden Formeln bin ich jetzt zwar nicht
so ganz sicher, ob das [mm] \sigma [/mm] in der ersten und das [mm] \sigma [/mm] in
der zweiten für dasselbe stehen.
Was für Fragen verbleiben denn nun noch ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Mo 15.08.2011 | | Autor: | DarkCell |
Mit der Standardabweichung der Einzelmessung berechnen wir die Standardabweichung des Mittelwertes, steht genau so in unserem Script und haben wir so in den Übungen gemacht.
Ich kann mir nur leider nicht vorstellen wohin der Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
für beide Standardabweichungen strebt.
Wie gesagt bei der Standardabweichung des Mittelwertes denke ich gegen Null oder? Aber was ist mit der normalen Standardabweichung?
Danke für die schnellen Antworten
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> Mit der Standardabweichung der Einzelmessung berechnen wir
> die Standardabweichung des Mittelwertes, steht genau so in
> unserem Script und haben wir so in den Übungen gemacht.
> Ich kann mir nur leider nicht vorstellen wohin der
> Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> für beide Standardabweichungen strebt.
> Wie gesagt bei der Standardabweichung des Mittelwertes
> denke ich gegen Null oder?
Ja. Ich nehme an, dass das [mm] \sigma [/mm] in deiner Formel
$ [mm] \sigma_{n}=\bruch{\sigma}{\wurzel{n}} [/mm] $
für die "wahre" Standardabweichung $ [mm] \sigma_X=\sqrt{Var(X)} [/mm] $
der Verteilung der Einzel-Messdaten steht. Hat dieses [mm] \sigma
[/mm]
einen bestimmten (positiven) Wert, so strebt natürlich
$ [mm] \sigma_{n}=\bruch{\sigma}{\wurzel{n}} [/mm] $
gegen Null für [mm] n\to \infty [/mm] .
> Aber was ist mit der normalen Standardabweichung?
Der Limes der Werte, die man als "empirische Standard-
abweichungen" aus Messreihen erhält, sollte dem
$ [mm] \sigma_X=\sqrt{Var(X)} [/mm] $ entsprechen. In Tat und Wahrheit ist es
ja eigentlich so, dass man den "wahren" Wert von [mm] \sigma_X [/mm]
eben gerade nur als Grenzwert von Näherungswerten
definieren kann, die aus Messreihen zu gewinnen wären.
LG Al-Chw.
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