Grenzwert Sinus < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Fr 19.07.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^2*sin(\bruch{n}{1+n^3}) [/mm] |
Bei meinen Klausurvorbereitungen stoße ich nun doch noch an einige Ecke und Kanten.
ich weiß nicht, wie ich von dieser Folge de Grenzwert bestimmen kann. Ma sieht ja schon, dass dieser 1 sein muss. Aber kriege es nicht hin das mathematisch darauf zu führen. Der Grenzwert ist ja im Unendlichen nicht für Sinus definiert.
Wäre schön, wenn mir jemand erklären kann wie ich den Grenzwert zeige!
LG
heinze
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Hallo,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2*sin(\bruch{n}{1+n^3})[/mm]
> Bei
> meinen Klausurvorbereitungen stoße ich nun doch noch an
> einige Ecke und Kanten.
>
> ich weiß nicht, wie ich von dieser Folge de Grenzwert
> bestimmen kann. Ma sieht ja schon, dass dieser 1 sein muss.
Hm, wenn du das so schnell gesehen hast, wie hast du das gemacht? Ich habe eine ganze Weile gebraucht um es zu einzusehen.
> Aber kriege es nicht hin das mathematisch darauf zu
> führen. Der Grenzwert ist ja im Unendlichen nicht für
> Sinus definiert.
>
> Wäre schön, wenn mir jemand erklären kann wie ich den
> Grenzwert zeige!
Am einfachsten ist es hier wohl, die Potenzreihe der Sinusfunktion zu verwenden. Dabei streben alle Summanden außer dem ersten trotz Multiplikation mit [mm] n^2 [/mm] gegen Null, das muss man halt begründen.
Alternativ kann man den Grenzwert auch durch einmalige Anwendung der Regel von de l'Hospital ausrechnen, das ist aber ein ziemliches 'Gepfriemel'.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Fr 19.07.2013 | | Autor: | heinze |
Ich habe das durch einen sehr irrsinnigen weg, der wohl funktioniert herausgefunden. ich habe [mm] n^2 [/mm] in die Klammer gezogen und erhalte mit [mm] n^3 [/mm] ausklammern 1. Funktioniert bei beliebigen Variationen, ist aber wie schon gesagt Irrsinn und gibt keine Punkte.
Potenzreihe und l'Hospital sollen hier nicht verwendet werden.
Gibt es nicht noch eine einfachere Variante den zu bestimmen?
l'Hospital würde mich interessiere, ich weiß hier allerdings nicht genau was mein f(x) und g(x) ist. Ich kann den Sinusbruch ja nicht zerlegen.
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe das durch einen sehr irrsinnigen weg, der wohl
> funktioniert herausgefunden. ich habe [mm]n^2[/mm] in die Klammer
> gezogen und erhalte mit [mm]n^3[/mm] ausklammern 1. Funktioniert bei
> beliebigen Variationen, ist aber wie schon gesagt Irrsinn
> und gibt keine Punkte.
den Roman, den Du da erzählst , hab ich nicht verstanden. Wie wärs mit Vorrechnen ?
>
> Potenzreihe und l'Hospital sollen hier nicht verwendet
> werden.
> Gibt es nicht noch eine einfachere Variante den zu
> bestimmen?
Liest Du eigentlich, was man Dir schreibt ?
https://matheraum.de/read?i=976518
FRED
>
> l'Hospital würde mich interessiere, ich weiß hier
> allerdings nicht genau was mein f(x) und g(x) ist. Ich kann
> den Sinusbruch ja nicht zerlegen.
>
>
> LG
> heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Fr 19.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich habe das durch einen sehr irrsinnigen weg, der wohl
> funktioniert herausgefunden. ich habe [mm]n^2[/mm] in die Klammer
> gezogen
Das geht so nicht, der Sinus ist keine lineare Funktion
[mm] a\cdot\sin(x)\ne\sin(ax)
[/mm]
> und erhalte mit [mm]n^3[/mm] ausklammern 1. Funktioniert bei
> beliebigen Variationen, ist aber wie schon gesagt Irrsinn
> und gibt keine Punkte.
Kein Wunder, wenn du elementarste Dinge mißachtest.
>
> Potenzreihe und l'Hospital sollen hier nicht verwendet
> werden.
> Gibt es nicht noch eine einfachere Variante den zu
> bestimmen?
>
> l'Hospital würde mich interessiere, ich weiß hier
> allerdings nicht genau was mein f(x) und g(x) ist.
Das geht nicht, denn selbst wenn du umschreibst:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^2\cdot{}\sin\left(\bruch{n}{1+n^3}\right) [/mm] $
$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(\bruch{n}{1+n^3}\right)}{n^{-2}} [/mm] $
Hier kannst du l'Hospital nicht nutzen, überlege mal, warum nicht.
(Beachte aber auch die Einschränkung von Marcel)
> Ich kann
> den Sinusbruch ja nicht zerlegen.
>
>
> LG
> heinze
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Marius!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2\cdot{}\sin\left(\bruch{n}{1+n^3}\right)[/mm] [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(\bruch{n}{1+n^3}\right)}{n^{-2}}[/mm]
>
> Hier kannst du l'Hospital nicht nutzen.
Warum nicht? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Es liegt doch der Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vor.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marius!
>
>
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2\cdot{}\sin\left(\bruch{n}{1+n^3}\right)[/mm]
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(\bruch{n}{1+n^3}\right)}{n^{-2}}[/mm]
> >
> > Hier kannst du l'Hospital nicht nutzen.
>
> Warum nicht? Es liegt doch der Fall [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> vor.
strenggenommen hat Marius recht - denn es ist $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Aber:
Man kann natürlich
$x [mm] \mapsto \frac{\sin(\tfrac{x}{1+x^3})}{\tfrac{1}{x^2}}$ [/mm] für $x [mm] \in (0,\infty)$
[/mm]
betrachten - da ist "alles diff'bar"! Und wenn für alle Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $(0,\,\infty)$ [/mm] mit
[mm] $x_n \to \infty$ [/mm] halt [mm] $f(x_n) \to [/mm] 1$ gilt, dann insbesondere für [mm] $x_n:=n\.$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
> Das geht nicht, denn selbst wenn du umschreibst:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2\cdot{}\sin\left(\bruch{n}{1+n^3}\right)[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(\bruch{n}{1+n^3}\right)}{n^{-2}}[/mm]
>
> Hier kannst du l'Hospital nicht nutzen, überlege mal,
> warum nicht.
Hm, das sehe ich jetzt auch nicht so ganz, warum soll das nicht funktionieren?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> > Ich habe das durch einen sehr irrsinnigen weg, der wohl
> > funktioniert herausgefunden. ich habe [mm]n^2[/mm] in die
> Klammer
> > gezogen
>
> Das geht so nicht, der Sinus ist keine lineare Funktion
>
> [mm]a\cdot\sin(x)\ne\sin(ax)[/mm]
>
> > und erhalte mit [mm]n^3[/mm] ausklammern 1. Funktioniert bei
> > beliebigen Variationen, ist aber wie schon gesagt
> Irrsinn
> > und gibt keine Punkte.
>
> Kein Wunder, wenn du elementarste Dinge mißachtest.
>
> >
> > Potenzreihe und l'Hospital sollen hier nicht verwendet
> > werden.
> > Gibt es nicht noch eine einfachere Variante den zu
> > bestimmen?
> >
> > l'Hospital würde mich interessiere, ich weiß hier
> > allerdings nicht genau was mein f(x) und g(x) ist.
>
> Das geht nicht, denn selbst wenn du umschreibst:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2\cdot{}\sin\left(\bruch{n}{1+n^3}\right)[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(\bruch{n}{1+n^3}\right)}{n^{-2}}[/mm]
>
> Hier kannst du l'Hospital nicht nutzen, überlege mal,
> warum nicht.
l'Hospital funktioniert hier ganz prima !
FRED
>
> > Ich kann
> > den Sinusbruch ja nicht zerlegen.
> >
> >
> > LG
> > heinze
>
> Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Fr 19.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo ihr.
Sorry, l'Hospital funktioniert doch, danke an alle Hinweisgeber.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marius,
> Hallo ihr.
>
> Sorry, l'Hospital funktioniert doch, danke an alle
> Hinweisgeber.
wie gesagt: So falsch ist der Einwand eigentlich nicht. Auf eine Funktion $f [mm] \colon \IN \to \IR$
[/mm]
sollte man "so" erstmal nicht de l'Hôpital anwenden. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2*sin(\bruch{n}{1+n^3})[/mm]
> Bei
> meinen Klausurvorbereitungen stoße ich nun doch noch an
> einige Ecke und Kanten.
>
> ich weiß nicht, wie ich von dieser Folge de Grenzwert
> bestimmen kann. Ma sieht ja schon, dass dieser 1 sein muss.
> Aber kriege es nicht hin das mathematisch darauf zu
> führen. Der Grenzwert ist ja im Unendlichen nicht für
> Sinus definiert.
>
> Wäre schön, wenn mir jemand erklären kann wie ich den
> Grenzwert zeige!
Abkürzend setzen wir:
[mm] x_n:=\bruch{n}{1+n^3} [/mm] und behalten im Hinterkopf: [mm] x_n \to [/mm] 0
Dann ist
[mm] n^2*sin(\bruch{n}{1+n^3})=n^2sin(x_n)=n^2*x_n*\bruch{sin(x_n)}{x_n}=\bruch{n^3}{1+n^3}*\bruch{sin(x_n)}{x_n}
[/mm]
Na, schnackelt da was ?
FRED
>
>
> LG
> heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Fr 19.07.2013 | | Autor: | heinze |
Danke Fred!! Ich glaube auf de Weg soll das gezeigt werden und scheint mir auch der einfachste zu sein!!
Da wird klar, warum der Grenzwert 1 sein muss!!
Danke!
LG
heinze
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred!! Ich glaube auf de Weg soll das gezeigt werden
> und scheint mir auch der einfachste zu sein!!
>
> Da wird klar, warum der Grenzwert 1 sein muss!!
>
> Danke!
Ich bin etwas enttäuscht, denn der Trick mit
[mm] sin(x_n)=x_n*\bruch{sin(x_n)}{x_n}
[/mm]
wurde doch hier
https://matheraum.de/read?i=973356
schon durchgekaut !!!
FRED
>
>
> LG
> heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2*sin(\bruch{n}{1+n^3})[/mm]
> Bei
> meinen Klausurvorbereitungen stoße ich nun doch noch an
> einige Ecke und Kanten.
>
> ich weiß nicht, wie ich von dieser Folge de Grenzwert
> bestimmen kann. Ma sieht ja schon, dass dieser 1 sein muss.
> Aber kriege es nicht hin das mathematisch darauf zu
> führen.
einerseits: Wegen [mm] $n/(1+n^3) \;\;\;\le\;\;\; n/n^3=1/n^2$ [/mm] folgt
[mm] $n^2 \sin(n/(1+n^3))=\frac{\sin(\tfrac{n}{1+n^3})}{1/n^2} \;\;\;\le\;\;\; \frac{\sin(1/n^2)}{1/n^2}\,.$
[/mm]
(Warum?)
Andererseits: Es gilt [mm] $n/(1+n^3) \;\;\;\ge\;\;\; n/(n+n^3)=1/(1+n^2)$ [/mm] und daher
[mm] $n^2 \sin(n/(1+n^3)) \;\;\;\ge\;\;\;\ n^2 \sin (\tfrac{1}{1+n^2})=\frac{\sin(\tfrac{1}{1+n^2})}{\frac{1}{1+n^2}}-\sin (\tfrac{1}{1+n^2})\,.$
[/mm]
(Warum?)
Was folgt also bei $n [mm] \to \infty$? [/mm] (Erinnerung: Man kann leicht
[mm] $\frac{\sin x}{x} \to [/mm] 1$ bei $x [mm] \to [/mm] 0$
zeigen! Ferner ist Sinus stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] und es ist [mm] $\sin(0)=0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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