Grenzwert Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Do 21.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Suche einen Grenzwert. Meine falsche Lösung ist 3.75. Ich muss in dieser Rechnung einen Fehler haben, denn wenn ich den Grenzwert mit einem Programm berechne erhalte ich 6. Ich bin mir bei so manchen Schritten nicht sicher...es wäre nett wenn jemand drüberguckt.
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{t} n^2*0.5^n
[/mm]
Meine Rechnung:
... = 0.5 * [mm] \summe_{n=1}^{t} n^2*0.5^{n-1}
[/mm]
Jetzt 1. mal Integrieren ->
0.5 * [mm] \summe_{n=1}^{t} n*0.5^n
[/mm]
... = 0.5*0.5 * [mm] \summe_{n=1}^{t} [/mm] n*0.5^(n-1)
Jetzt 2. mal Integrieren - >
0.5*0.5* [mm] \summe_{n=1}^{t} 0.5^n
[/mm]
Jetzt muss ich den Index noch einz verschieben - >
0.5*0.5* [mm] (\summe_{n=0}^{t} 0.5^n [/mm] -1)
Dieser Grenzwert ist = [mm] 0.5*0.5*\bruch{1}{1 - q} [/mm] - 1*0.5*0.5
, wobei q = 0.5
Jetzt hab ich aber 2 mal Integriert, also muss ich auch wieder zwei mal ableiten - >
[mm] 0.5*0.5*\bruch{-2}{(q-1)^3} [/mm] - 1*0.5*0.5
=>>> 3.75
Habe noch Fragen dazu:
Also ich habe ja das 0.5 was ja eigentlich q ist am Anfang, um zu Integrieren herausgezogen, beim Integrieren hab ich es als konstante gesehen (darf man das überaupt?), also muss ich das beim Ableiten auch als konstante betrachten.
Dann beim Integrieren verschiebt sich da der Index des Summenzeichens nicht von 1 auf 0 weil beim Ableiten geht ja der Index eins hoch, beim Integrieren demfall eins runter...?
Christian
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> Hallo,
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> Suche einen Grenzwert. Meine falsche Lösung ist 3.75. Ich
> muss in dieser Rechnung einen Fehler haben, denn wenn ich
> den Grenzwert mit einem Programm berechne erhalte ich 6.
> Ich bin mir bei so manchen Schritten nicht sicher...es
> wäre nett wenn jemand drüberguckt.
>
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{t} n^2*0.5^n[/mm]
>
> Meine Rechnung:
>
> ... = 0.5 * [mm]\summe_{n=1}^{t} n^2*0.5^{n-1}[/mm]
>
> Jetzt 1. mal Integrieren ->
>
> 0.5 * [mm]\summe_{n=1}^{t} n*0.5^n[/mm]
>
> ... = 0.5*0.5 * [mm]\summe_{n=1}^{t}[/mm] n*0.5^(n-1)
>
> Jetzt 2. mal Integrieren - >
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> 0.5*0.5* [mm]\summe_{n=1}^{t} 0.5^n[/mm]
>
> Jetzt muss ich den Index noch einz verschieben - >
>
> 0.5*0.5* [mm](\summe_{n=0}^{t} 0.5^n[/mm] -1)
>
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> Dieser Grenzwert ist = [mm]0.5*0.5*\bruch{1}{1 - q}[/mm] -
> 1*0.5*0.5
> , wobei q = 0.5
>
> Jetzt hab ich aber 2 mal Integriert, also muss ich auch
> wieder zwei mal ableiten - >
>
> [mm]0.5*0.5*\bruch{-2}{(q-1)^3}[/mm] - 1*0.5*0.5
>
> =>>> 3.75
>
>
> Habe noch Fragen dazu:
> Also ich habe ja das 0.5 was ja eigentlich q ist am Anfang,
> um zu Integrieren herausgezogen, beim Integrieren hab ich
> es als konstante gesehen (darf man das überaupt?),
Hallo,
hiermit hast Du den wunden Punkt getroffen.
Du hattest vermutlich die Potenzreihe [mm] \summe n^2x^n, [/mm] festgestellt, dü welche x sie konvergiert, und nun möchtest Du den Reihenwert an der Stelle x=0.5 ausrechnen.
Du integrierst nach x, und wenn Du schreibst [mm] \summe n^2x^n=x\summe n^2x^{n-1}, [/mm] dann ist das x hier keine Konstante
Du müßtest also partiell integrieren oder sowas. Und wenn Du damit fertig bist, dann kannst Du x=0.5 einsetzen.
Gruß v. Angela
also
> muss ich das beim Ableiten auch als konstante betrachten.
> Dann beim Integrieren verschiebt sich da der Index des
> Summenzeichens nicht von 1 auf 0 weil beim Ableiten geht ja
> der Index eins hoch, beim Integrieren demfall eins
> runter...?
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> Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Do 21.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich habs nun partiell versucht, mit was ich nicht weiterkomme weil es dann wieder ein Integral giebt, bei dem ich wieder x rausziehen muss um es zu Integrieren, damit ich keine blöden faktoren bekomme... Hab noch andere Dinge, wie zum Beispiel mal die Reihe bis zu einigen Gliedern aufgeschrieben und auch die Integrierten Reihen aufgeschrieben, um zu sehen ob ich richtig integriert habe...ich bekomme nur mehrere A4 Seiten voll und jedes mal einen anderen Grenzwert:
x [mm] \hat= [/mm] 0.5
[mm] \integral_{}^{}{u*v' }= [/mm] u*v - [mm] \integral_{}^{}{u'*v} [/mm] --->
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {x * [mm] \summe_{n=1}^{t} n^2 [/mm] * x^(n-1) } =
[mm] x*\summe_{n=1}^{t} [/mm] n * x^(n) - [mm] \integral_{}^{}{1* \summe_{n=1}^{t} n * x^(n)} [/mm]
Jetzt muss ich das ja wieder integrieren...so komme ich nicht weiter...
Wie berechnet man denn diesen Grenzwert am besten? Ist doch ein nicht so schwieriger Fall, oder?
Ich denke man kann beim Integrieren das 0.5 bzw. x nicht(!) integrieren, mann muss einfach wieder nur den Term ableiten, den man Integriert hat, nicht? Sollte doch den gleichen Grenzwert ergeben?
Gruss
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[mm]y = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \, , \ \ |x|<1[/mm]
[mm]xy' = \sum_{n=0}^{\infty} nx^n[/mm]
[mm]x^2 y'' = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) x^n[/mm]
[mm]\sum_{n=0}^{\infty} n^2 x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \left( n(n-1) + n \right) x^n = x^2 y'' + xy'[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Do 21.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke vielmal!!!
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