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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Sa 25.10.2008 | | Autor: | inkyla |
| Aufgabe | Ziel ist die Zeichnung des Graphen der Funktion:
f(x)=(x²-3x-4):(x+2)
Untersuche, wie sich der graph in der Nähe der Polstelle verhält. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Verhalten-in-der-Umgebung-von-Definitionsluecken
Hallo erstmal : )
habe leider bis jetzt immer noch keine Hilfe bekommen : (
Und hier meine Frage:
Wie kann man die Art eines Pols und die Grenzwerte bei Annäherung an die Polstelle bestimmen?
z.B:
f(x)= (x² -3x-4):(x+2)
Ich weis nur, dass es irgendetwas mit limes gegen + unendlich und -unendlich zu tun hat, versteh aber nicht was und wie ich da untersuchen und berechnen soll :(
Wäre über jede Hilfe dankbar!
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Dann helfen wir dir doch einmal :)
> Ziel ist die Zeichnung des Graphen der Funktion:
> f(x)=(x²-3x-4):(x+2)
> Untersuche, wie sich der graph in der Nähe der Polstelle
> verhält.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Verhalten-in-der-Umgebung-von-Definitionsluecken
>
> Hallo erstmal : )
> habe leider bis jetzt immer noch keine Hilfe bekommen : (
>
> Und hier meine Frage:
> Wie kann man die Art eines Pols und die Grenzwerte bei
> Annäherung an die Polstelle bestimmen?
>
> z.B:
>
> f(x)= (x² -3x-4):(x+2)
>
>
> Ich weis nur, dass es irgendetwas mit limes gegen +
> unendlich und -unendlich zu tun hat, versteh aber nicht was
> und wie ich da untersuchen und berechnen soll :(
>
> Wäre über jede Hilfe dankbar!
Deine Funktion lautet also
$ [mm] f(x)=\bruch{x² -3x-4}{x+2} [/mm] $ ? Versuche doch bitte, Brüche in Zukunft dergestalt mit der entsprechenden Formel hier dazustellen :)
Also, du wirst ja sicherlich schon wissen, dass deine Polstelle bei -2 liegt, richtig? Denn für [mm] x_0=-2 [/mm] wird der Nenner ja 0 und damit haben wir für [mm] x_0 [/mm] eine Definitionslücke von f(x) gefunden. Da der Zähler jedoch nicht 0 wird (sondern 6), handelt es sich um eine Polstelle, an die sich der Graph von f also beliebig nah anschmiegt. Bleibt noch zu klären, ob die Polstelle ein VZW hat.
Dazu kannst du für dich ganz einfach Werte einsetzen!
teste so doch z.B. einmal mit dem Taschenrechner -1,99 und -2,01
Du erhälst zwei große Zahlen mit unterschiedlichem VZ! Du hast also eine ungleichnamige Polstelle mit einem VZW.
Mathematisch richtig würde es tatsächlich mit dem limes gehen. Dazu denken wir uns ein sehr kleines h, dass wir immer kleiner werden lassen, bis es 0 wird.
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(-2+h)² -3*(-2+h)-4}{(-2+h)+2} [/mm] $
Diese schreibweise bedeutet, dass wir uns praktisch für die Stelle [mm] x_0=-2 [/mm] interessieren, aber da wir -2 nicht einsetzen dürfen, brauchen wir die limes-Schreibweise mit h! Unser h lassen wir beliebig klein werden, aber niemals 0! Damit erreichen wir eine sehr gute Annäherung an den Wert -2 ohne diesen jemals zu erreichen, da sonst der Nenner 0 würde.
Wenn es sich um eine Polstelle ohne VZW handeln soll, muss der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert identisch sein!
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(-2+h)² -3*(-2+h)-4}{(-2+h)+2}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{4-2h+h^2 +6-3h-4}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h^2-5h+6h}{h} [/mm] $
Jetzt haben wir das ganze für +h durchgeführt, richtig? Das bedeutet, die Zahl, die wir einsetzen, ist minimal größer als -2, da ein winziges +h dazuaddiert wird. Jetzt nähern wir uns noch von "links", also mit -h, denn dann ist die Zahl minimal kleiner als -2, z.B. eben -2.00001
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(-2-h)² -3*(-2-h)-4}{(-2-h)+2}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{4+2h+h^2 +6+3h-4}{-h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h^2+5h+6h}{-h} [/mm] $
Wie du siehst, erhalten wir nicht den selben Bruch! Wir würden also zwei verschiedene Zahlenwerte und auch zwei verschiedene Vorzeichen herausbekommen, denn wir haben einmal eine positive Zahle (erster Fall für +h) und einmal einen egative Zahl für den zweiten Fall -h, denn der Nenner ist ja negativ.
Aber dies ist wie gesagt nur der mathematisch exakte Weg, zum überprüfen reichen Taschenrechnerwerte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Sa 25.10.2008 | | Autor: | inkyla |
Das Problem ist einfach, dass ich den Sinn von limes irgendwie nicht verstehen kann, aber egal, dann lerne ich die Rechenwege eben auswendig ;)...dankeschön nochmal :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Adamantin |
> Das Problem ist einfach, dass ich den Sinn von limes
> irgendwie nicht verstehen kann, aber egal, dann lerne ich
> die Rechenwege eben auswendig ;)...dankeschön nochmal :)
Der limes ist einfach eine Schreibweise dafür zu sagen, dass wir uns unendlich nah einer bestimmten Stelle oder einem Wert annähern wollen. In dem Beispiel oben ist es ja so, dass du -2 nicht einsetzen darfst, weil der Nenner dann 0 werden würde und das darf man mathematisch nicht! Daher gibt es die Schreibweise mit dem limes (was ja auf Lateinisch Grenze bedeutet) und dem Bezugswert, hier h. h geht einfach gegen 0 und damit sind wir gaaaanz nah an der -2, mathematisch gesehen aber nicht ganz genau, weil h unendlich klein werden kann :)
Schau dir einfach dazu ein paar andere Beispiele an, der limes ist nicht wirklich schwer zu verstehen, vllt verstehst du es mit anderen Beispielen besser, wozu es ihn gibt, z.B. bei der Grenzwertbetrachtung einer Funktion für x gegen [mm] \infty [/mm] oder so :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Sa 25.10.2008 | | Autor: | inkyla |
oki werde ich machen ;)... voll lieb, dass du das erklärt hast, dankeee :)
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