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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 So 24.06.2007 | | Autor: | acf |
Hallo Zusammen,
zunächst einmal: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgendes Problem: Ich muss zeigen dass der Grenzwert der Funktion L von alpha = [mm] (c^2*h)/ [alpha^5 [/mm] (exp(c*h/R*alpha)-1)]
für lim alpha-> 0 gegen 0 strebt.
Nun ist angegeben, dass man alpha durch x= c*h/R*alpha substituieren kann und den stehenden ausdruck für x-> unendlich untersuchen soll.
Dass wenn alpha gegen null läuft der ausdruck für x gegen unendlich strebt ist mir klar. aber ich verstehe nicht wie ich das mit der Substitution machen muss. Ersetze ich nur den Ausdruck c*h/R*alpha oder muss ich dann auch alpha in der Formel entsprechend verändern.
Ich hoffe die Frage war verständlich.
Vielen Dank schon einmal für eure Hilfe
-acf-
entschuldigt bitte aber mit dem Formeleditor hab ich es noch nicht hinbekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:14 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo acf,
ich hoffe, ich habe die Funktion richtig rekonstruiert:
[mm]L(\alpha)=\bruch{c^2*h}{\alpha^5*(e^{\bruch{c*h}{R*\alpha}}-1)}}[/mm]
Persönlich würde ich da einfach ein paar Überlegungen anstellen:
Der Zähler ist konstant, sodass nur der Nenner für die Grenzwertbetrachtung entscheidend ist. Geht der Nenner gegen 0, strebt [mm]L(\alpha)[/mm] gegen unendlich, strebt er gegen unendlich, strebt die Funktion gegen 0.
Dann betrachte ich mir den Nenner genauer, da steht eine [mm]x^n[/mm]-Funktion, wobei n hier 5 ist, eine Funktion 5ten Grades. Diese wird multipliziert mit einer e-Funktion. Jetzt muss man noch wissen, dass die e-Funktion schneller wächst als jede beliebige [mm]x^n[/mm]-Funktion- sie ist also entscheidend für den Nenner.
Deshalb schaue ich auf den Exponenten der e-Funktion. Da steht wieder ein Bruch. Wenn nun [mm] \alpha [/mm] gegen 0 läuft, geht der Bruch gegen unendlich. Somit wächst der Exponent von e gegen unendlich (das -1 ist da vollkommen unwichtig). Damit wächst die komplette E-Funktion gegen unendlich und da sie die [mm]\alpha^5[/mm] Funktion überwiegt, welche gleichzeitig gegen 0 strebt, wird der Nenner des Bruches unendlich, womit die Funktion gegen 0 geht.
Ob dein Professor solch einen Beweis gelten lässt, weiß ich nicht. Daher lasse ich es mal auf unbeantwortet. Ich denke, die Substitution sollte eher für das Vorstellen gut sein, als zum Rechnen, aber das ist nur eine Vermutung von mir.
Lieben Gruß,
Dirk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Mo 25.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich musst du [mm] \alpha [/mm] überall durch x ersetzen, sonst könnte ja ein falscher GW rauskommen.
beachte: [mm] e^{-x} [/mm] geht schneller gegen 0 als jede Potenz von 1/x
also auch x^100*e^-x geht gegen 0 oder [mm] e^x/(x^5) [/mm] geht gegen [mm] \infty [/mm] für x gegen [mm] \infty!
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mo 25.06.2007 | | Autor: | acf |
Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung. Hab es verstanden...war nur etwas verunsichert, weil man den ausdruck substituieren sollte um ihn zu untersuchen, aber eigentlich ist das ja nicht nötig.
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