Grenzwert Nullfolge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Fr 20.07.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Lösen Sie die Ungleichung [mm] $\bruch{1}{2n-1} [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] nach n auf. |
Hallo Zusammen,
hier meine Lösung:
[mm] $\bruch{1}{2n-1} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] | * 2n-1$
$1 < [mm] \epsilon [/mm] * 2n-1$
[mm] $\bruch{1}{\epsilon} [/mm] < 2n-1$
[mm] $\bruch{1}{\epsilon} [/mm] +1 < 2n$
[mm] $\bruch{0,5}{\epsilon : 2} [/mm] + 0,5 < n$
Wie man [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ auch wählt, immer findet man ein S nämlich $S = [mm] \bruch{0,5}{\epsilon\2} [/mm] +0,5$, so dass für alle n > S gilt: [mm] $|a_n| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
passt das so? Außerdem hätte ich noch eine Frage, ob es einen Online-Plotter gibt, der Folgen darstellen kann und bei dem man beliebig [mm] $\epsilon$ [/mm] wählen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Fr 20.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Lösen Sie die Ungleichung [mm]\bruch{1}{2n-1} < \epsilon[/mm] nach n
> auf.
> Hallo Zusammen,
>
> hier meine Lösung:
>
> [mm]\bruch{1}{2n-1} < \epsilon | * 2n-1[/mm]
>
> [mm]1 < \epsilon * 2n-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\epsilon} < 2n-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\epsilon} +1 < 2n[/mm]
>
> [mm]\bruch{0,5}{\epsilon : 2} + 0,5 < n[/mm]
Umformung korrekt. Schreiben würde ich das lieber so [mm] \bruch{1}{2\epsilon}+\bruch{1}{2}
> Wie man [mm]\epsilon > 0[/mm] auch wählt, immer findet man ein S
> nämlich [mm]S = \bruch{0,5}{\epsilon\2} +0,5[/mm], so dass für alle
> n > S gilt: [mm]|a_n| < \epsilon[/mm]
Das stimmt, falls [mm] a_{n}=\bruch{1}{2n-1}.
[/mm]
> passt das so? Außerdem hätte ich noch eine Frage, ob es
> einen Online-Plotter gibt, der Folgen darstellen kann und
> bei dem man beliebig [mm]\epsilon[/mm] wählen kann?
Das passt alles so. Und ja, es gibt jede Menge Online-Plotter, der im Matheraum.de beliebteste ist wohl ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot.
Gruß,
dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Fr 20.07.2007 | | Autor: | Mumrel |
Schau doch mal hier rein:
http://min.informatik.uni-tuebingen.de/min/minApplets/SeqPlot.html
Grüße Murmel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Fr 20.07.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie für die Folge $n -> [mm] \bruch{1+5n}{n}$ [/mm] eine Zahl S so, dass für alle n > S gilt:
[mm] $|\bruch{1+5n}{n} [/mm] - 5 | < 0,0005$.
b) Zeigen Sie mithilfe der Grenzwertdefinition, dass die Folge von a) gegen 5 konvergiert. |
Hallo Zusammen,
danke für die vorherigen Antworten. Hier meine Lösung zu a):
[mm] $|a_n| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] $|\bruch{1+5n}{n} [/mm] - 5 | < [mm] \epsilon$ [/mm] |+5
[mm] $|\bruch{1+5n}{n}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] + 5$ | Ausklammern
$|(1+5n):n| < [mm] \epsilon [/mm] + 5$
[mm] $|\bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{5n}{n}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] + 5$ |-5
[mm] $\bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{\epsilon} [/mm] < n$
$S = [mm] \bruch{1}{0,0005} [/mm] = 2000$
Für alle n > 2000 gilt [mm] $|a_n| [/mm] < 0,0005$.
b) da weiß ich leider nicht weiter, könnte mir da jemand helfen?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo itse!
Auch wenn du das richtige Ergebnis erhältst. Deine Rechnung bis dahin weist doch ein/zwei Fehler auf.
Du darfst hier nicht einfach den Wert $-5_$ aus den Betragsstrichen auf die andere Seite der Gleichung bringen!
[mm]\left|\bruch{1+5n}{n} - 5 \right| \ < \ \varepsilon[/mm]
Fasse hier erst innerhalb der Betragsstriche zusammen bzw. zerlege den Bruchterm:
[mm]\left|\bruch{1}{n}+\bruch{5n}{n} - 5 \right| \ < \ \varepsilon[/mm]
[mm]\left|\bruch{1}{n}+5 - 5 \right| \ < \ \varepsilon[/mm]
[mm]\left|\bruch{1}{n}\right| \ < \ \varepsilon[/mm]
Da [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] für alle $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] positiv ist, darfst Du die Betragsstriche weglassen:
[mm]\bruch{1}{n} \ < \ \varepsilon[/mm]
Nun weiter wie bei Dir ...
Da Du diese Aufgabe bei a.) allgemein mit beliebigen [mm] $\varepsilon$ [/mm] gelöst hast, ist das auch automatisch der Nachweis für b.) ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Fr 20.07.2007 | | Autor: | itse |
Also hätte ich bei a) anstatt [mm] $\epsilon$ [/mm] mit 0,0005 gerechnet dann müsste ich bei b) dies allgemein berechnen wie bei a) oder, somit sind beide Aufgaben schon gelöst, oder?
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Hallo itse!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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