Grenzwert L'Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert falls er existiert mit den Regelb von L'Hospital:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \frac{x^2 cos ( 1 /x )}{ sin x}
[/mm]
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Sodele hallo,
also ich habe mir damals aufgeschrieben, dass der Grenzwert 0 rauskommen soll. Leider kann ich das überhauipt nihct (mehr) nachvollziehen.
Bei mir ergibt das nach einmaligem L'Hospital:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \frac{x^2 cos ( 1 /x )}{ sin x} [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow 0} \frac{2x cos ( 1/x ) - sin ( 1/x )}{ cos x} [/mm]
Der Nenner geht gegen 1, aber der Zähler enthält für mich zwei unbestimmte Ausdrücke, nämlich cos (1/x) und sin (1/x) zappeln doch beide für x --> 0 wild rum, bzw. der Grenzwert existiert dort nicht.
Sieht hier jemand den Trick oder kann das jemand bestätigen, dass der Grenzwert nicht existiert (für das Gesamte)?
Danke und Grüße
Mumrel
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> Berechne den Grenzwert falls er existiert mit den Regelb
> von L'Hospital:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \frac{x^2 cos ( 1 /x )}{ sin x}[/mm]
>
>
> Sodele hallo,
>
> also ich habe mir damals aufgeschrieben, dass der Grenzwert
> 0 rauskommen soll. Leider kann ich das überhauipt nihct
> (mehr) nachvollziehen.
Hallo,
daß der Grenzwert wirklich =0 ist, ahnt man, wenn man sich die Funktion aufzeichnet.
Ich würd's so machen: [mm] |\limes_{n\rightarrow 0} \frac{x^2 cos ( 1 /x )}{ sin x}|\le |\limes_{n\rightarrow 0} \frac{x^2 }{ sin x}|,
[/mm]
und nun [mm] \limes_{n\rightarrow 0} \frac{x^2 }{ sin x} [/mm] berechnen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi,
ok mit
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \frac{2n}{cos n} [/mm] = 0 sehe ichs dann auch.
Das man die solche Grenzwertaufgaben mit Einschürung lösen kann werd ich mir merken ;).
Danke und Grüße Mumrel
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Hallo Mumrel!
Hier noch eine Alternative:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^2*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)}{\sin( x)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x}{\sin( x)}*\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\cos\left(\bruch{1}{x}\right)}{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ ...$
Der vordere Term kann mit  de l'Hospital ermitteln, den zweiten Term abschätzen mit [mm] $\left| \ \cos(z) \ \right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Aus den anderen Antworten hast du schon erkennen können, dass der Grenzwert gegen 0 geht.
Wo ist nun dein Fehler?
>
> Bei mir ergibt das nach einmaligem L'Hospital:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \frac{x^2 cos ( 1 /x )}{ sin x}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \frac{2x cos ( 1/x ) - sin ( 1/x )}{ cos x}[/mm]
>
Du hast den Zähler nicht richtig abgeleitet:
[mm]\limes_{n\rightarrow 0} \frac{x^2 cos ( 1 /x )}{ sin x}[/mm]
= [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \frac{2x cos ( 1/x ) +x^2 (- sin ( 1/x ))(-1/x^2)}{ cos x}[/mm]
Du hast im 2. Summanden den Faktor [mm] x^2 [/mm] und die innere Ableitung von 1/x vergessen!
...= [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \frac{2x cos ( 1/x ) + sin ( 1/x )}{cos x}[/mm].
Nun geht der Nenner gegen 1, der 1. Summand im Zähler gegen 0, der 2. Summand sin(1/x) zappelt aber hin und her!!! Was nun???
Diese Rechnung ist ein typisches "Ausnahmeergebnis"! Der Satz von L'Hospital besagt nämlich:
lim f/g = lim f'/g', falls der rechte Grenzwert existiert. Hier hast du ein Beispiel, wo zwar lim f/g existiert, der Grenzwert lim f'/g' aber nicht, und damit der Satz von L'H. nicht anwendbar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi,
> Wo ist nun dein Fehler?
> Du hast den Zähler nicht richtig abgeleitet:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \frac{x^2 cos ( 1 /x )}{ sin x}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \frac{2x cos ( 1/x ) +x^2 (- sin ( 1/x ))(-1/x^2)}{ cos x}[/mm]
>
> Du hast im 2. Summanden den Faktor [mm]x^2[/mm] und die innere
> Ableitung von 1/x vergessen!
So kann mans auch deuten, ich habe allerdings nur das - von (cos x)' vergessen, der Rest kürzt sich ja.
Grüße Mumrel
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