Grenzwert Funktionenfolge < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | [mm] $lim_{i\rightarrow\infty}a_i=a\Rightarrow lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(\frac{i}{n}\right)^ra_i\right)=\frac{a}{r+1}$
[/mm]
für [mm] $a\in\IR$ [/mm] und [mm] $r\in\IN$.
[/mm]
Hinweis: Man gebe einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega,A,P)$ [/mm] an, bezüglich dem die Funktionen [mm] $f_n(x)=\sum_{i=1}^na_i(i/n)^r 1_{\left(\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]}(x)$ [/mm] für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] Zufallsvariablen sind und betrachte [mm] $\int f_n(x)P(dx)$ [/mm] |
Hi!
1 soll die Indikatorfunktion sein.
Ich denke, den Kern der Aufgabe habe ich bereits:
[mm] \sum_{i=1}^na_i(\frac{i}{n})^r\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^na_i(\frac{i}{n})^r\int 1_{\left(\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]}(x)P(dx)=\int\sum_{i=1}^na_i(\frac{i}{n})^r 1_{\left(\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]}(x)P(dx)=\int_0^1a_nx^rP(dx)=\frac{a_n}{r+1}x^{r+1}|_0^1=\rac{a_n}{r+1}
[/mm]
Meine Frage ist eher, wie schreibe ich den Rest formal hin? Welchen Warhscheinlichkeitsraum nimmt man hier denn? Ganz normal Borel oder Lebesque? Und es wurde verlangt, einen geeigneten Satz aus der Integrationstheorie zu verwenden... Ich meine... ich vertausche den Grenzwert und die Integration, also müsste das doch der Satz über monotone Konvergenz?
Freue mich über Korrektur und/oder Bestätigung! :)
Harris
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> [mm]lim_{i\rightarrow\infty}a_i=a\Rightarrow lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(\frac{i}{n}\right)^ra_i\right)=\frac{a}{r+1}[/mm]
>
> für [mm]a\in\IR[/mm] und [mm]r\in\IN[/mm].
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> Hinweis: Man gebe einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
> [mm](\Omega,A,P)[/mm] an, bezüglich dem die Funktionen
> [mm]f_n(x)=\sum_{i=1}^na_i(i/n)^r 1_{\left(\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]}(x)[/mm]
> für jedes [mm]n\in\IN[/mm] Zufallsvariablen sind und betrachte [mm]\int f_n(x)P(dx)[/mm]
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> Hi!
> 1 soll die Indikatorfunktion sein.
> Ich denke, den Kern der Aufgabe habe ich bereits:
>
> [mm]\sum_{i=1}^na_i(\frac{i}{n})^r\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^na_i(\frac{i}{n})^r\int 1_{\left(\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]}(x)P(dx)=\int\sum_{i=1}^na_i(\frac{i}{n})^r 1_{\left(\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]}(x)P(dx)=\int_0^1a_nx^rP(dx)=\frac{a_n}{r+1}x^{r+1}|_0^1=\rac{a_n}{r+1}[/mm]
>
Vom Ansatz her scheint es zu passen. Wenn du an der Stelle
[mm] \int\sum_{i=1}^na_i(\frac{i}{n})^r 1_{\left(\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]}(x)P(dx)
[/mm]
bist, stellt du fest, dass der Integrand für [mm] n\to\infty [/mm] punktweise gegen [mm] a*x^r [/mm] (nicht [mm] a_n*x^r) [/mm] konvergiert. Die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Integral ist dann durch den Satz von der majorisierten Konvergenz gewährleistet.
Das Maß P ist dabei natürlich das Lebesgue-Maß auf [0,1], ob du dazu die Borel- oder die [mm] Lebesgue-\sigma-Algebra [/mm] nimmst, spielt für den Beweis keine Rolle.
> Meine Frage ist eher, wie schreibe ich den Rest formal hin?
> Welchen Warhscheinlichkeitsraum nimmt man hier denn? Ganz
> normal Borel oder Lebesque? Und es wurde verlangt, einen
> geeigneten Satz aus der Integrationstheorie zu verwenden...
> Ich meine... ich vertausche den Grenzwert und die
> Integration, also müsste das doch der Satz über monotone
> Konvergenz?
>
> Freue mich über Korrektur und/oder Bestätigung! :)
> Harris
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