Grenzwert Folgen und Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Di 25.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Grenzwerte der unten stehenden Folgen und Reihen für n -> unendlich:
an= (1+ [mm] (1/5n))^n [/mm] |
Hallo, ich habe hier jetzt etwas Probleme, weil ich dieses Verfahren nur mit rationalen Funktionen kenne. Dort guckt man ja dann einfach wo die höhste Potenz ist und kann das ganze dann daraus bestimmen. Das ist ja aber bei so einer Aufgabe nicht möglich.
Ich habe in einem Buch nachgelesen und dort wird das ganze erstmal zu einem Bruch gemacht. Sprich man teilt das ganze einfach durch 1 und multpliziert dann Nenner und Zähler mit der Funktion selbst. Ziel ist es dann zu einer Substitution zu kommen. Dort wird dann die Variable durch unendlich ausgetauscht und das ganze dann errechnet.
Irgendwie haut das hier ja aber auch nicht hin, wegen den hoch n. Also ich kann es zumnindest nicht.
Gibt es noch einen anderen, möglichst einfachen Weg?
|
|
| |
|
Hallo Shoegirl,
> Berechnen Sie die Grenzwerte der unten stehenden Folgen und
> Reihen für n -> unendlich:
>
> an= (1+ [mm](1/5n))^n[/mm]
> Hallo, ich habe hier jetzt etwas Probleme, weil ich dieses
> Verfahren nur mit rationalen Funktionen kenne. Dort guckt
> man ja dann einfach wo die höhste Potenz ist und kann das
> ganze dann daraus bestimmen. Das ist ja aber bei so einer
> Aufgabe nicht möglich.
> Ich habe in einem Buch nachgelesen und dort wird das ganze
> erstmal zu einem Bruch gemacht. Sprich man teilt das ganze
> einfach durch 1 und multpliziert dann Nenner und Zähler
> mit der Funktion selbst. Ziel ist es dann zu einer
> Substitution zu kommen. Dort wird dann die Variable durch
> unendlich ausgetauscht und das ganze dann errechnet.
> Irgendwie haut das hier ja aber auch nicht hin, wegen den
> hoch n. Also ich kann es zumnindest nicht.
> Gibt es noch einen anderen, möglichst einfachen Weg?
Kennst du [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e[/mm] (eulersche Zahl) und in Verallgemeinerung [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\red{x}}{n}\right)^n=e^{\red{x}}[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] ?
Das sollte helfen.
Für die Grenzwertbetrachtung der Reihe [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\underbrace{\left(1+\frac{1}{5n}\right)^n}_{a_n}[/mm] hilft der GW der Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] und das Trivialkriterium für Reihenkonvergenz ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
